§11.prop.7ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ληφθῇ δὲ ἐφʼ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις.
如果两条直线平行，并且在它们各自上面任意取一些点，则连结这些点的直线与这两条平行线在同一个平面内。
ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι παράλληλοι αἱ ΑΒ, ΓΔ, καὶ εἰλήφθω ἐφʼ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα τὰ Ε, Ζ· λέγω, ὅτι ἡ ἐπὶ τὰ Ε, Ζ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις.
设两条平行直线为 ΑΒ、ΓΔ，且在它们各自上面任意取点 Ε、Ζ；我说，连结点 Ε、Ζ 的直线与这两条平行线在同一个平面内。
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἔστω ἐν μετεωροτέρῳ ὡς ἡ ΕΗΖ, καὶ διήχθω διὰ τῆς ΕΗΖ ἐπίπεδον· τομὴν δὴ ποιήσει ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν.
设若不然，如果可能，设它在一个较高的平面内，如 ΕΗΖ，并且引出通过 ΕΗΖ 的平面；它确实将在给定的平面内作一条直线作为公共交线。
ποιείτω ὡς τὴν ΕΖ· δύο ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΕΗΖ, ΕΖ χωρίον περιέξουσιν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
设它作 ΕΖ；因此两条直线 ΕΗΖ、ΕΖ 将包围一个区域；这是不可能的。
οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν μετεωροτέρῳ ἐστὶν ἐπιπέδῳ· ἐν τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΓΔ ἄρα παραλλήλων ἐστὶν ἐπιπέδῳ ἡ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα.
所以，从点 Ε 到点 Ζ 连结的直线不在较高的平面内；所以，从点 Ε 到点 Ζ 连结的直线在通过平行线 ΑΒ、ΓΔ 的平面内。
ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ληφθῇ δὲ ἐφʼ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，如果两条直线平行，并且在它们各自上面任意取一些点，则连结这些点的直线与这两条平行线在同一个平面内；这就是所要证明的。
§11.prop.8ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ ἑτέρα αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.
如果两条直线平行，并且它们中的一条与某个平面垂直，则其余的一条也将与同一个平面垂直。
ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι παράλληλοι αἱ ΑΒ, ΓΔ, ἡ δὲ ἑτέρα αὐτῶν ἡ ΑΒ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ ἡ λοιπὴ ἡ ΓΔ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.
设两条平行直线为 ΑΒ、ΓΔ，且它们中的一条 ΑΒ 与给定的平面垂直；我说，其余的一条 ΓΔ 也将与同一个平面垂直。
συμβαλλέτωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΓΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ Β, Δ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ· αἱ ΑΒ, ΓΔ, ΒΔ ἄρα ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
因为，设 ΑΒ、ΓΔ 与给定的平面在点 Β、Δ 处相交，连结 ΒΔ；所以 ΑΒ、ΓΔ、ΒΔ 在同一个平面内。
ἤχθω τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ ΔΕ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΑΕ, ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΑΒ· ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΒΔ, ΑΒΕ γωνιῶν.
在给定的平面内引出垂直于 ΒΔ 的 ΔΕ，设 ΔΕ 等于 ΑΒ，且连结 ΒΕ、ΑΕ、ΑΔ。 并且，因为 ΑΒ 与给定的平面垂直，所以 ΑΒ 也与所有与它相接且在给定的平面内的直线垂直；因此角 ΑΒΔ、ΑΒΕ 中的每一个都是直角。
καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΔ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΔ, ΓΔΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
并且，因为直线 ΒΔ 落在平行线 ΑΒ、ΓΔ 上，所以角 ΑΒΔ、ΓΔΒ 之和等于两个直角。
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΒ· ἡ ΓΔ ἄρα πρὸς τὴν ΒΔ ὀρθή ἐστιν.
而角 ΑΒΔ 是直角；所以角 ΓΔΒ 也是直角；所以 ΓΔ 垂直于 ΒΔ。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΒΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΔ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΒ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΒ ἴση· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΒΕ ἴση.
又因为 ΑΒ 等于 ΔΕ，而 ΒΔ 是公共的，所以两条边 ΑΒ、ΒΔ 分别等于两条边 ΕΔ、ΔΒ；且角 ΑΒΔ 等于角 ΕΔΒ；因为每一个都是直角；所以底边 ΑΔ 等于底边 ΒΕ。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΑΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΕ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΑ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ.
又因为 ΑΒ 等于 ΔΕ，且 ΒΕ 等于 ΑΔ，所以两条边 ΑΒ、ΒΕ 分别等于两条边 ΕΔ、ΔΑ，每一条分别相等。
καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΑΕ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΑ ἐστιν ἴση.
且它们的底边 ΑΕ 是公共的；所以角 ΑΒ防Ε 等于角 ΕΔΑ。
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΔΑ· ἡ ΕΔ ἄρα πρὸς τὴν ΑΔ ὀρθή ἐστιν.
而角 ΑΒΕ 是直角；所以角 ΕΔΑ 也是直角；所以 ΕΔ 垂直于 ΑΔ。
ἔστι δὲ καὶ πρὸς τὴν ΔΒ ὀρθή· ἡ ΕΔ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΔ, ΔΑ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν.
但它也垂直于 ΔΒ；所以 ΕΔ 也与通过 ΒΔ、ΔΑ 的平面垂直。
καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν ΒΔΑ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας ἡ ΕΔ. ἐν δὲ τῷ διὰ τῶν ΒΔΑ ἐπιπέδῳ ἐστὶν ἡ ΔΓ, ἐπειδήπερ ἐν τῷ διὰ τῶν ΒΔΑ ἐπιπέδῳ εἰσὶν αἱ ΑΒ, ΒΔ, ἐν ᾧ δὲ αἱ ΑΒ, ΒΔ, ἐν τούτῳ ἐστὶ καὶ ἡ ΔΓ. ἡ ΕΔ ἄρα τῇ ΔΓ πρὸς ὀρθάς ἐστιν· ὥστε καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
因此，ΕΔ 也将与所有与它相接且在通过 ΒΔΑ 的平面内的直线成直角。 而在通过 ΒΔΑ 的平面内有 ΔΓ，因为在通过 ΒΔΑ 的平面内有 ΑΒ、ΒΔ，且在 ΑΒ、ΒΔ 所在的平面内，ΔΓ 也在其中。 所以 ΕΔ 垂直于 ΔΓ；从而 ΓΔ 也垂直于 ΔΕ。
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθάς.
而 ΓΔ 也垂直于 ΒΔ。
ἡ ΓΔ ἄρα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας ταῖς ΔΕ, ΔΒ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Δ τομῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκεν· ὥστε ἡ ΓΔ καὶ τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΔΒ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
所以 ΓΔ 在接点 Δ 处与两条相交直线 ΔΕ、ΔΒ 垂直设立；从而 ΓΔ 也与通过 ΔΕ、ΔΒ 的平面垂直。
τὸ δὲ διὰ τῶν ΔΕ, ΔΒ ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενόν ἐστιν· ἡ ΓΔ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
而通过 ΔΕ、ΔΒ 的平面就是给定的平面；所以 ΓΔ 与给定的平面垂直。
ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ μία αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，如果两条直线平行，并且它们中的一条与某个平面垂直，则其余的一条也将与同一个平面垂直；这就是所要证明的。