§11.prop.9αἱ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι.
同一の直線に平行であり、かつそれと同じ平面上にない直線は、互いにも平行である。
ἔστω γὰρ ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τῇ ΕΖ παράλληλος μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ·
実際、ΑΒ, ΓΔ のそれぞれが ΕΖ に平行であり、それと同じ平面上にはない（ΕΖと同一平面上にない）とせよ。
λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΕΖ τυχὸν σημεῖον τὸ Η, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ τῇ ΕΖ ἐν μὲν τῷ διὰ τῶν ΕΖ, ΑΒ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΗΘ, ἐν δὲ τῷ διὰ τῶν ΖΕ, ΓΔ τῇ ΕΖ πάλιν πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΗΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΗΘ, ΗΚ ὀρθή ἐστιν, ἡ ΕΖ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΗΘ, ΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
私は、ΑΒ が ΓΔ に平行であると主張する。 実際、ΕΖ 上に任意の点 Η が取られ、そこから ΕΖ に対し、ΕΖ, ΑΒ を通る平面において垂直に ΗΘ が引かれ、一方、ΖΕ, ΓΔ を通る平面において、ΕΖ に対して再び垂直に ΗΚ が引かれたとせよ。 そして、ΕΖ は ΗΘ, ΗΚ のそれぞれに対して垂直であるから、ΕΖ は ΗΘ, ΗΚ を通る平面に対しても垂直である。
καί ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ παράλληλος·
また、ΕΖ は ΑΒ に平行である。
καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῷ διὰ τῶν ΘΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
したがって、ΑΒ もまた ΘΗΚ を通る平面に対して垂直である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΔ τῷ διὰ τῶν ΘΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν·
同じ理由により、ΓΔ もまた ΘΗΚ を通る平面に対して垂直である。
ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τῷ διὰ τῶν ΘΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
したがって、ΑΒ, ΓΔ のそれぞれが ΘΗΚ を通る平面に対して垂直である。
ἐὰν δὲ δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν, παράλληλοί εἰσιν αἱ εὐθεῖαι·
ところで、もし2つの直線が同じ平面に対して垂直であるならば、それらの直線は平行である。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ·
したがって、ΑΒ は ΓΔ に平行である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§11.prop.10ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἴσας γωνίας περιέξουσιν.
もし互いに交わる2つの直線が、互いに交わる他の2つの直線に平行であり、同一の平面上にないならば、それらは等しい角を囲むであろう。
δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας τὰς ΔΕ, ΕΖ ἁπτομένας ἀλλήλων ἔστωσαν μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ·
実際、互いに交わる2つの直線 ΑΒ, ΒΓ が、互いに交わる2つの直線 ΔΕ, ΕΖ に平行であり、同一の平面上にない（同一平面上にはない状態である）とせよ。
λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ.
Ἀπειλήφθωσαν γὰρ αἱ ΒΑ, ΒΓ, ΕΔ, ΕΖ ἴσαι ἀλλήλαις, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΓΖ, ΒΕ, ΑΓ, ΔΖ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΑ τῇ ΕΔ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος, καὶ ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος.
私は、角 ΑΒΓ が角 ΔΕΖ に等しいと主張する。 実際、 ΒΑ, ΒΓ, ΕΔ, ΕΖ が互いに等しく切り取られ、ΑΔ, ΓΖ, ΒΕ, ΑΓ, ΔΖ が結ばれたとせよ。 そして、ΒΑ は ΕΔ に等しくかつ平行であるから、 ΑΔ もまた ΒΕ に等しくかつ平行である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος·
同じ理由により、ΓΖ もまた ΒΕ に等しくかつ平行である。
ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΔ, ΓΖ τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος.
したがって、ΑΔ, ΓΖ のそれぞれが ΒΕ に等しくかつ平行である。
αἱ δὲ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι·
ところで、同一の直線に平行であり、それと同じ平面上にない直線は、互いにも平行である。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΓΖ καὶ ἴση.
したがって、 ΑΔ は ΓΖ に平行であり、かつ等しい。
καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΑΓ, ΔΖ·
裏付け。 そして、それらを ΑΓ, ΔΖ が結んでいる。
καὶ ἡ ΑΓ ἄρα τῇ ΔΖ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος.
したがって、ΑΓ もまた ΔΖ に等しくかつ平行である。
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση.
そして、2つの辺 ΑΒ, ΒΓ は2つの辺 ΔΕ, ΕΖ に等しく、底辺 ΑΓ は底辺 ΔΖ に等しいので、角 ΑΒΓ は角 ΔΕΖ に等しい。
ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἴσας γωνίας περιέξουσιν·
したがって、もし互いに交わる2つの直線が、互いに交わる他の2つの直線に平行であり、同一の平面上にないならば、それらは等しい角を囲むであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。