§11.prop.7ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ληφθῇ δὲ ἐφʼ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις.
2つの直線が平行であり、それらのそれぞれの直線上に任意の点が取られるならば、それらの点を結ぶ直線は、その平行な直線と同一の平面上にある。
ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι παράλληλοι αἱ ΑΒ, ΓΔ, καὶ εἰλήφθω ἐφʼ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα τὰ Ε, Ζ·
2つの平行な直線 ΑΒ, ΓΔ があるとし、それらのそれぞれの直線上に任意の点 Ε, Ζ が取られたとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ἐπὶ τὰ Ε, Ζ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις.
私は、点 Ε, Ζ を結ぶ直線が、その平行な直線と同一の平面上にあると主張する。
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἔστω ἐν μετεωροτέρῳ ὡς ἡ ΕΗΖ, καὶ διήχθω διὰ τῆς ΕΗΖ ἐπίπεδον·
そうではないとし、可能ならば、それが空中にある ΕΗΖ のようであるとし、 ΕΗΖ を通る平面が引かれるとせよ。
τομὴν δὴ ποιήσει ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν.
すると、それは下にある平面において、共通の交線として直線をなすであろう。
ποιείτω ὡς τὴν ΕΖ·
それを ΕΖ のようであるとせよ。
δύο ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΕΗΖ, ΕΖ χωρίον περιέξουσιν·
したがって、2つの直線である ΕΗΖ と ΕΖ が領域を囲むことになるであろう。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν μετεωροτέρῳ ἐστὶν ἐπιπέδῳ·
したがって、点 Ε から点 Ζ へ結ばれた直線は、より高い平面上にはない。
ἐν τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΓΔ ἄρα παραλλήλων ἐστὶν ἐπιπέδῳ ἡ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα.
ゆえに、平行な直線 ΑΒ, ΓΔ を通る平面上に、点 Ε から点 Ζ へ結ばれた直線はある。
ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ληφθῇ δὲ ἐφʼ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις·
したがって、2つの直線が平行であり、それらのそれぞれの直線上に任意の点が取られるならば、それらの点を結ぶ直線は、その平行な直線と同一の平面上にある。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§11.prop.8ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ ἑτέρα αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.
2つの直線が平行であり、それらのうちの一方が、ある平面に対して垂直であるならば、残りの一方も同じ平面に対して垂直であるであろう。
ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι παράλληλοι αἱ ΑΒ, ΓΔ, ἡ δὲ ἑτέρα αὐτῶν ἡ ΑΒ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστω·
2つの平行な直線 ΑΒ, ΓΔ があるとし、それらのうちの一方である ΑΒ が、下にある平面に対して垂直であるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ἡ λοιπὴ ἡ ΓΔ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.
私は、残りの一法である ΓΔ も、同じ平面に対して垂直であるであろうと主張する。
συμβαλλέτωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΓΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ Β, Δ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ·
なぜなら、ΑΒ, ΓΔ が下にある平面と点 Β, Δ において交わるとし、ΒΔ が結ばれたとせよ。
αἱ ΑΒ, ΓΔ, ΒΔ ἄρα ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
すると、ΑΒ, ΓΔ, ΒΔ は同一の平面上にある。
ἤχθω τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ ΔΕ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΑΕ, ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΑΒ·
下にある平面において ΒΔ に対して垂直に ΔΕ が引かれ、ΔΕ は ΑΒ に等しく置かれ、ΒΕ, ΑΕ, ΑΔ が結ばれたとせよ。
ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΒΔ, ΑΒΕ γωνιῶν.
そして、 ΑΒ は下にある平面に対して垂直であるから、それ自身に接し、かつ下にある平面の中にあるすべての直線に対しても、ΑΒ は垂直である。
καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΔ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΔ, ΓΔΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
したがって、角 ΑΒΔ, ΑΒΕ のそれぞれは直角である。
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ·
そして、平行な直線 ΑΒ, ΓΔ に対し、直線 ΒΔ が交わっているので、角 ΑΒΔ と ΓΔΒ の和は2直角に等しい。
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΒ·
ところが、角 ΑΒΔ は直角である。
ἡ ΓΔ ἄρα πρὸς τὴν ΒΔ ὀρθή ἐστιν.
したがって、角 ΓΔΒ もまた直角である。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΒΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΔ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΒ ἴσαι εἰσίν·
ゆえに、ΓΔ は ΒΔ に対して垂直である。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΒ ἴση·
そして、ΑΒ は ΔΕ に等しく、ΒΔ は共通であるから、2つの辺 ΑΒ, ΒΔ は2つの辺 ΕΔ, ΔΒ に等しい。
ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα·
そして、角 ΑΒΔ は角 ΕΔΒ に等しい。
βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΒΕ ἴση.
なぜなら、それぞれ直角だからである。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΑΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΕ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΑ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ.
したがって、底辺 ΑΔ は底辺 ΒΕ に等しい。
καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΑΕ·
そして、ΑΒ は ΔΕ に等しく、ΒΕ は ΑΔ に等しいので、2つの辺 ΑΒ, ΒΕ は2つの辺 ΕΔ, ΔΑ にそれぞれ等しい。 検算。 そして、それらの底辺 ΑΕ は共通である。
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΑ ἐστιν ἴση.
したがって、角 ΑΒΕ は角 ΕΔΑ に等しい。
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ·
ところが、角 ΑΒΕ は直角である。
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΔΑ·
したがって、角 ΕΔΑ もまた直角である。
ἡ ΕΔ ἄρα πρὸς τὴν ΑΔ ὀρθή ἐστιν.
ゆえに、ΕΔ は ΑΔ に対して垂直である。
ἔστι δὲ καὶ πρὸς τὴν ΔΒ ὀρθή·
また、それは ΔΒ に対しても垂直である。
ἡ ΕΔ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΔ, ΔΑ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν.
したがって、ΕΔ は ΒΔ, ΔΑ を通る平面に対しても垂直である。
καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν ΒΔΑ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας ἡ ΕΔ. ἐν δὲ τῷ διὰ τῶν ΒΔΑ ἐπιπέδῳ ἐστὶν ἡ ΔΓ, ἐπειδήπερ ἐν τῷ διὰ τῶν ΒΔΑ ἐπιπέδῳ εἰσὶν αἱ ΑΒ, ΒΔ, ἐν ᾧ δὲ αἱ ΑΒ, ΒΔ, ἐν τούτῳ ἐστὶ καὶ ἡ ΔΓ. ἡ ΕΔ ἄρα τῇ ΔΓ πρὸς ὀρθάς ἐστιν·
したがって、ΕΔ はそれ自身に接し、かつ ΒΔΑ を通る平面の中にあるすべての直線に対しても、直角を作るであろう。 ところが、ΒΔΑ を通る平面の中に ΔΓ がある。 なぜなら、ΒΔΑ を通る平面の中に ΑΒ, ΒΔ があり、ΑΒ, ΒΔ がある平面の中に ΔΓ もあるからである。 したがって、ΕΔ は ΔΓ に対して垂直である。
ὥστε καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
したがって、ΓΔ も ΔΕ に対して垂直である。
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθάς.
また、ΓΔ は ΒΔ に対しても垂直である。
ἡ ΓΔ ἄρα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας ταῖς ΔΕ, ΔΒ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Δ τομῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκεν·
したがって、ΓΔ は、互いに交わる2つの直線 ΔΕ, ΔΒ に対して、点 Δ における交点において垂直に立てられている。
ὥστε ἡ ΓΔ καὶ τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΔΒ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
したがって、ΓΔ は ΔΕ, ΔΒ を通る平面に対しても垂直である。
τὸ δὲ διὰ τῶν ΔΕ, ΔΒ ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενόν ἐστιν·
ところが、ΔΕ, ΔΒ を通る平面とは下にある平面のことである。
ἡ ΓΔ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
したがって、ΓΔ は下にある平面に対して垂直である。
ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ μία αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται·
したがって、2つの直線が平行であり、それらのうちの一方が、ある平面に対して垂直であるならば、残りの一法も同じ平面に対して垂直であるであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。