§11.prop.5ἐὰν εὐθεῖα τρισὶν εὐθείαις ἁπτομέναις ἀλλήλων πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
如果一条直线在三条彼此相接的直线的公共交点处与它们垂直，则这三条直线在同一个平面内。
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τρισὶν εὐθείαις ταῖς ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κατὰ τὸ Β ἁφῆς ἐφεστάτω· λέγω, ὅτι αἱ ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
因为，设某条直线 ΑΒ 在点 Β 处的接点处与三条直线 ΒΓ、ΒΔ、 ΒΕ 垂直，自 Β 设立；我说，ΒΓ、ΒΔ、ΒΕ 在同一个平面内。
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἔστωσαν αἱ μὲν ΒΔ, ΒΕ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, ἡ δὲ ΒΓ ἐν μετεωροτέρῳ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπίπεδον· κοινὴν δὴ τομὴν ποιήσει ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν.
设若不然，如果可能，设 ΒΔ、ΒΕ 在给定的平面内，而 ΒΓ 在一个较高的平面内，并让包含 ΑΒ、ΒΓ 的平面延伸；它确实将在给定的平面内作一条直线作为公共交线。
ποιείτω τὴν ΒΖ. ἐν ἑνὶ ἄρα εἰσὶν ἐπιπέδῳ τῷ διηγμένῳ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΓ αἱ τρεῖς εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΒΖ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΔ, ΒΕ, καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΔ, ΒΕ ἄρα ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ. τὸ δὲ διὰ τῶν ΒΔ, ΒΕ ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενόν ἐστιν· ἡ ΑΒ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον.
设它作 ΒΖ。 因此，三条直线 ΑΒ、ΒΓ、 ΒΖ 在通过 ΑΒ、ΒΓ 引出的同一个平面内。 并且，因为 ΑΒ 与 ΒΔ、ΒΕ 中的每一条都垂直，所以 ΑΒ 也与包含 ΒΔ、ΒΕ 的平面垂直。 而包含 ΒΔ、ΒΕ 的平面就是给定的平面；因此 ΑΒ 与给定的平面垂直。
ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας ἡ ΑΒ. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΒΖ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΖ γωνία ὀρθή ἐστιν.
从而 ΑΒ 也将与所有与它相接且在给定的平面内的直线成直角。 而在给定平面内的 ΒΖ 与它相接；因此角 ΑΒΖ 是直角。
ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὀρθή· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. καί εἰσιν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
而角 ΑΒΓ 也被假设为直角；因此角 ΑΒΖ 等于角 ΑΒΓ。 并且它们在同一个平面内；这是不可能的。
οὐκ ἄρα ἡ ΒΓ εὐθεῖα ἐν μετεωροτέρῳ ἐστὶν ἐπιπέδῳ· αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
因此，直线 ΒΓ 不在较高的平面内；所以三条直线 ΒΓ、ΒΔ、ΒΕ 在同一个平面内。
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα τρισὶν εὐθείαις ἁπτομέναις ἀλλήλων ἐπὶ τῆς ἁφῆς πρὸς ὀρθὰς ἐπισταθῇ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，如果一条直线在三条彼此相接的直线的接点处与它们垂直，则这三条直线在同一个平面内；这就是所要证明的。
§11.prop.6ἐὰν δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν, παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι.
如果两条直线与同一个平面垂直，则这两条直线平行。
δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστωσαν· λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
συμβαλλέτωσαν γὰρ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ Β, Δ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ εὐθεῖα, καὶ ἤχθω τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ ΔΕ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΑΕ, ΑΔ.
καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας.
因为，设两条直线 ΑΒ、ΓΔ 与给定的平面垂直；我说，ΑΒ 平行于 ΓΔ。 因为，设它们与给定的平面在点 Β、Δ 处相交，连结直线 ΒΔ，并在给定的平面内引出垂直于 ΒΔ 的 ΔΕ，设 ΔΕ 等于 ΑΒ，且连结 ΒΕ、ΑΕ、ΑΔ。 并且，因为 ΑΒ 与给定的平面垂直，所以它也将与所有与它相接且在给定的平面内的直线成直角。
ἅπτεται δὲ τῆς ΑΒ ἑκατέρα τῶν ΒΔ, ΒΕ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΒΔ, ΑΒΕ γωνιῶν.
而在给定的平面内的 ΒΔ、ΒΕ 中的每一条都与 ΑΒ 相接；因此角 ΑΒΔ、ΑΒΕ 中的每一个都是直角。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΔΒ, ΓΔΕ ὀρθή ἐστιν.
由于同样的原因，角 ΓΔΒ、ΓΔΕ 中的每一个也确实是直角。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΒΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΔ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΒ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση.
并且，因为 ΑΒ 等于 ΔΕ，而 ΒΔ 是公共的，所以两条边 ΑΒ、ΒΔ 分别等于两条边 ΕΔ、ΔΒ；且它们包含直角；因此底边 ΑΔ 等于底边 ΒΕ。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΒΕ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΕ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΑ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΑΕ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΑ ἐστιν ἴση.
又因为 ΑΒ 等于 ΔΕ，而且 ΑΔ 也等于 ΒΕ，所以两条边 ΑΒ、ΒΕ 分别等于两条边 ΕΔ、ΔΑ；且它们的底边 ΑΕ 是公共的；因此角 ΑΒΕ 等于角 ΕΔΑ。
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΔΑ· ἡ ΕΔ ἄρα πρὸς τὴν ΔΑ ὀρθή ἐστιν.
而角 ΑΒΕ 是直角；因此角 ΕΔΑ 也是直角；所以 ΕΔ 垂直于 ΔΑ。
ἔστι δὲ καὶ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΔ, ΔΓ ὀρθή.
并且，它也与 ΒΔ、ΔΓ 中的每一条都垂直。
ἡ ΕΔ ἄρα τρισὶν εὐθείαις ταῖς ΒΔ, ΔΑ, ΔΓ πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς ἁφῆς ἐφέστηκεν· αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΔ, ΔΑ, ΔΓ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
因此，ΕΔ 在接点处与三条直线 ΒΔ、ΔΑ、ΔΓ 垂直设立；所以，三条直线 ΒΔ、ΔΑ、 ΔΓ 在同一个平面内。
ἐν ᾧ δὲ αἱ ΔΒ, ΔΑ, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΑΒ· πᾶν γὰρ τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ· αἱ ἄρα ΑΒ, ΒΔ, ΔΓ εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
而在 ΔΒ、ΔΑ 所在的平面内，ΑΒ 也在其中；因为每一个三角形都在同一个平面内；所以直线 ΑΒ、ΒΔ、ΔΓ 在同一个平面内。
καί ἐστιν ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΒΔ, ΒΔΓ γωνιῶν· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν, παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
并且角 ΑΒΔ、ΒΔΓ 中的每一个都是直角；所以 ΑΒ 平行于 ΓΔ。 因此，如果两条直线与同一个平面垂直，则这两条直线平行；这就是所要证明的。