§11.prop.7ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ληφθῇ δὲ ἐφʼ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις.
만약 두 직선이 평행하고, 그것들 각각의 위에서 임의의 점들이 취해진다면, 그 점들을 잇는 직선은 그 평행한 직선들과 한 평면 위에 있을 것이다.
ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι παράλληλοι αἱ ΑΒ, ΓΔ, καὶ εἰλήφθω ἐφʼ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα τὰ Ε, Ζ·
두 평행한 직선 ΑΒ, ΓΔ가 있다고 하고, 그것들 각각의 위에서 임의의 점 Ε, Ζ가 취해졌다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ἐπὶ τὰ Ε, Ζ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις.
나는 점 Ε, Ζ를 잇는 직선이 그 평행한 직선들과 한 평면 위에 있다고 주장한다.
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἔστω ἐν μετεωροτέρῳ ὡς ἡ ΕΗΖ, καὶ διήχθω διὰ τῆς ΕΗΖ ἐπίπεδον·
그렇지 않다고 하고, 가능하다면 그것이 공중에 있는 ΕΗΖ와 같다고 하자. 그리고 ΕΗΖ를 지나는 평면이 그어진다고 하자.
τομὴν δὴ ποιήσει ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν.
그렇다면 그것은 아래에 있는 평면에서 공통 교선으로서 한 직선을 만들 것이다.
ποιείτω ὡς τὴν ΕΖ·
그것을 ΕΖ와 같다고 하자.
δύο ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΕΗΖ, ΕΖ χωρίον περιέξουσιν·
따라서 두 직선 ΕΗΖ, ΕΖ가 어떤 영역을 둘러싸게 될 것이다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν μετεωροτέρῳ ἐστὶν ἐπιπέδῳ·
그러므로 점 Ε에서 점 Ζ로 이어진 직선은 더 높은 평면 위에 있지 않다.
ἐν τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΓΔ ἄρα παραλλήλων ἐστὶν ἐπιπέδῳ ἡ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα.
따라서 평행한 직선 ΑΒ, ΓΔ를 지나는 평면 위에 점 Ε에서 점 Ζ로 이어진 직선이 있다.
ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ληφθῇ δὲ ἐφʼ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις·
따라서 만약 두 직선이 평행하고, 그것들 각각의 위에서 임의의 점들이 취해진다면, 그 점들을 잇는 직선은 그 평행한 직선들과 한 평면 위에 있을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§11.prop.8ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ ἑτέρα αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.
만약 두 직선이 평행하고, 그것들 중 한 직선이 어떤 평면과 수직이면, 남은 한 직선도 같은 평면과 수직일 것이다.
ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι παράλληλοι αἱ ΑΒ, ΓΔ, ἡ δὲ ἑτέρα αὐτῶν ἡ ΑΒ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστω·
두 평행한 직선 ΑΒ, ΓΔ가 있다고 하고, 그것들 중 한 직선인 ΑΒ가 아래에 있는 평면과 수직이라고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ἡ λοιπὴ ἡ ΓΔ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.
나는 남은 한 직선인 ΓΔ도 같은 평면과 수직일 것이라고 주장한다.
συμβαλλέτωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΓΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ Β, Δ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ·
왜냐하면 ΑΒ, ΓΔ가 아래에 있는 평면과 점 Β, Δ에서 만난다고 하고, ΒΔ가 연결되었다고 하자.
αἱ ΑΒ, ΓΔ, ΒΔ ἄρα ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
그러면 ΑΒ, ΓΔ, ΒΔ는 한 평면 위에 있다.
ἤχθω τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ ΔΕ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΑΕ, ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΑΒ·
아래에 있는 평면 안에서 ΒΔ와 수직이 되도록 ΔΕ가 그어지고, ΔΕ는 ΑΒ와 같게 놓이며, ΒΕ, ΑΕ, ΑΔ가 연결되었다고 하자. 그리고 ΑΒ는 아래에 있는 평면과 수직이므로, 자신과 접하고 아래에 있는 평면 안에 있는 모든 직선과도 수직이다.
ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΒΔ, ΑΒΕ γωνιῶν.
따라서 각 ΑΒΔ, ΑΒΕ 각각은 직각이다.
καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΔ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΔ, ΓΔΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
그리고 평행한 직선 ΑΒ, ΓΔ에 대해 직선 ΒΔ가 만났으므로, 각 ΑΒΔ, ΓΔΒ의 합은 두 직각과 같다.
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ·
그런데 각 ΑΒΔ는 직각이다.
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΒ·
따라서 각 ΓΔΒ도 직각이다.
ἡ ΓΔ ἄρα πρὸς τὴν ΒΔ ὀρθή ἐστιν.
그러므로 ΓΔ는 ΒΔ와 수직이다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΒΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΔ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΒ ἴσαι εἰσίν·
그리고 ΑΒ가 ΔΕ와 같고, ΒΔ는 공통이므로, 두 변 ΑΒ, ΒΔ는 두 변 ΕΔ, ΔΒ와 각각 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΒ ἴση·
그리고 각 ΑΒΔ는 각 ΕΔΒ와 같다.
ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα·
왜냐하면 각각 직각이기 때문이다.
βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΒΕ ἴση.
따라서 밑변 ΑΔ는 밑변 ΒΕ와 같다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΑΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΕ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΑ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ.
그리고 ΑΒ가 ΔΕ와 같고, ΒΕ는 ΑΔ와 같으므로, 두 변 ΑΒ, ΒΕ는 두 변 ΕΔ, ΔΑ와 각각 같다.
καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΑΕ·
그리고 그것들의 밑변 ΑΕ는 공통이다.
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΑ ἐστιν ἴση.
따라서 각 ΑΒΕ는 각 ΕΔΑ와 같다.
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ·
그런데 각 ΑΒΕ는 직각이다.
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΔΑ·
따라서 각 각 ΕΔΑ도 직각이다.
ἡ ΕΔ ἄρα πρὸς τὴν ΑΔ ὀρθή ἐστιν.
그러므로 ΕΔ는 ΑΔ와 수직이다.
ἔστι δὲ καὶ πρὸς τὴν ΔΒ ὀρθή·
또한 그것은 ΔΒ와도 수직이다.
ἡ ΕΔ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΔ, ΔΑ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν.
그러므로 ΕΔ는 ΒΔ, ΔΑ를 지나는 평면과도 수직이다.
καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν ΒΔΑ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας ἡ ΕΔ. ἐν δὲ τῷ διὰ τῶν ΒΔΑ ἐπιπέδῳ ἐστὶν ἡ ΔΓ, ἐπειδήπερ ἐν τῷ διὰ τῶν ΒΔΑ ἐπιπέδῳ εἰσὶν αἱ ΑΒ, ΒΔ, ἐν ᾧ δὲ αἱ ΑΒ, ΒΔ, ἐν τούτῳ ἐστὶ καὶ ἡ ΔΓ. ἡ ΕΔ ἄρα τῇ ΔΓ πρὸς ὀρθάς ἐστιν·
따라서 ΕΔ는 자신과 접하고 ΒΔΑ를 지나는 평면 안에 있는 모든 직선과도 직각을 이룰 것이다. 그런데 ΒΔΑ를 지나는 평면 안에 ΔΓ가 있다. 왜냐하면 ΒΔΑ를 지나는 평면 안에 ΑΒ, ΒΔ가 있고, ΑΒ, ΒΔ가 있는 평면 안에 ΔΓ도 있기 때문이다. 그러므로 ΕΔ는 ΔΓ와 수직이다.
ὥστε καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
따라서 ΓΔ도 ΔΕ와 수직이다.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθάς.
또한 ΓΔ는 ΒΔ와도 수직이다.
ἡ ΓΔ ἄρα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας ταῖς ΔΕ, ΔΒ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Δ τομῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκεν·
그러므로 ΓΔ는 서로 만나는 두 직선 ΔΕ, ΔΒ에 대해 점 Δ에서의 교점에서 수직으로 세워져 있다.
ὥστε ἡ ΓΔ καὶ τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΔΒ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
따라서 ΓΔ는 ΔΕ, ΔΒ를 지나는 평면과도 수직이다.
τὸ δὲ διὰ τῶν ΔΕ, ΔΒ ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενόν ἐστιν·
그런데 ΔΕ, ΔΒ를 지나는 평면은 아래에 있는 평면이다.
ἡ ΓΔ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
그러므로 ΓΔ는 아래에 있는 평면과 수직이다.
ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ μία αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται·
따라서 만약 두 직선이 평행하고, 그것들 중 한 직선이 어떤 평면과 수직이면, 남은 한 직선도 같은 평면과 수직일 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.