§11.prop.5ἐὰν εὐθεῖα τρισὶν εὐθείαις ἁπτομέναις ἀλλήλων πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
直線が、互いに接する3つの直線に対して、それらの共通の交点において垂直に立てられるならば、これら3つの直線は同一の平面上にある。
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τρισὶν εὐθείαις ταῖς ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κατὰ τὸ Β ἁφῆς ἐφεστάτω·
なぜなら、ある直線 ΑΒ が、3つの直線 ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ に対して、点 Β における接点において垂直に立てられているとせよ。
λέγω, ὅτι αἱ ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
私は、ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ が同一の平面上にあると主張する。
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἔστωσαν αἱ μὲν ΒΔ, ΒΕ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, ἡ δὲ ΒΓ ἐν μετεωροτέρῳ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπίπεδον·
そうではないとし、可能ならば、ΒΔ, ΒΕ は下にある平面上にあり、ΒΓ はより高い平面上にあるとし、ΑΒ, ΒΓ を通る平面が延長されるとせよ。
κοινὴν δὴ τομὴν ποιήσει ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν.
すると、それは下にある平面において、共通の交線として直線をなすであろう。
ποιείτω τὴν ΒΖ. ἐν ἑνὶ ἄρα εἰσὶν ἐπιπέδῳ τῷ διηγμένῳ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΓ αἱ τρεῖς εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΒΖ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΔ, ΒΕ, καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΔ, ΒΕ ἄρα ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ. τὸ δὲ διὰ τῶν ΒΔ, ΒΕ ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενόν ἐστιν·
それを ΒΖ とせよ。 したがって、3つの直線 ΑΒ, ΒΓ, ΒΖ は、ΑΒ, ΒΓ を通って引かれた同一の平面上にある。 そして、ΑΒ は ΒΔ, ΒΕ のそれぞれに対して垂直であるから、ΑΒ は ΒΔ, ΒΕ を通る平面に対しても垂直である。 ところが、ΒΔ, ΒΕ を通る平面とは下にある平面のことである。
ἡ ΑΒ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον.
したがって、ΑΒ は下にある平面に対して垂直である。
ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας ἡ ΑΒ. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΒΖ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ·
したがって、ΑΒ は、それ自身に接し、かつ下にある平面の中にあるすべての直線に対しても、直角を作るであろう。 ところが、下にある平面の中にある ΒΖ は ΑΒ に接している。
ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΖ γωνία ὀρθή ἐστιν.
したがって、角 ΑΒΖ は直角である。
ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὀρθή·
また、角 ΑΒΓ も直角であると仮定されている。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. καί εἰσιν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ·
したがって、角 ΑΒΖ は角 ΑΒΓ に等しい。 そして、それらは同一の平面上にある。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἡ ΒΓ εὐθεῖα ἐν μετεωροτέρῳ ἐστὶν ἐπιπέδῳ·
したがって、直線 ΒΓ はより高い平面上にはない。
αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
ゆえに、3つの直線 ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ は同一の平面上にある。
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα τρισὶν εὐθείαις ἁπτομέναις ἀλλήλων ἐπὶ τῆς ἁφῆς πρὸς ὀρθὰς ἐπισταθῇ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ·
したがって、直線が、互いに接する3つの直線に対して、その接点において垂直に立てられるならば、これら3つの直線は同一の平面上にある。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§11.prop.6ἐὰν δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν, παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι.
2つの直線が同一の平面に対して垂直であるならば、それらの直線は平行である。
δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστωσαν·
なぜなら、2つの直線 ΑΒ, ΓΔ が下にある平面に対して垂直であるとせよ。
λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
συμβαλλέτωσαν γὰρ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ Β, Δ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ εὐθεῖα, καὶ ἤχθω τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ ΔΕ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΑΕ, ΑΔ.
καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας.
私は、ΑΒ が ΓΔ に平行であると主張する。 なぜなら、それらが下にある平面と点 Β, Δ において交わるとし、直線 ΒΔ が結ばれ、下にある平面において ΒΔ に対して垂直に ΔΕ が引かれ、ΔΕ は ΑΒ に等しく置かれ、 ΒΕ, ΑΕ, ΑΔ が結ばれたとせよ。 そして、ΑΒ は下にある平面に対して垂直であるから、それ自身に接し、かつ下にある平面の中にあるすべての直線に対しても、直角を作るであろう。
ἅπτεται δὲ τῆς ΑΒ ἑκατέρα τῶν ΒΔ, ΒΕ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ·
ところが、下にある平面の中にある ΒΔ, ΒΕ のそれぞれは ΑΒ に接している。
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΒΔ, ΑΒΕ γωνιῶν.
したがって、角 ΑΒΔ, ΑΒΕ のそれぞれは直角である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΔΒ, ΓΔΕ ὀρθή ἐστιν.
同じ理由によって、角 ΓΔΒ, ΓΔΕ のそれぞれもまた直角である。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΒΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΔ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΒ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν·
そして、ΑΒ は ΔΕ に等しく、ΒΔ は共通であるから、2つの辺 ΑΒ, ΒΔ は2つの辺 ΕΔ, ΔΒ に等しく、かつ直角を囲んでいる。
βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση.
したがって、底辺 ΑΔ は底辺 ΒΕ に等しい。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΒΕ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΕ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΑ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΑΕ·
そして、ΑΒ は ΔΕ に等しく、さらに ΑΔ も ΒΕ に等しいので、2つの辺 ΑΒ, ΒΕ は2つの辺 ΕΔ, ΔΑ に等しく、それらの底辺 ΑΕ は共通である。
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΑ ἐστιν ἴση.
したがって、角 ΑΒΕ は角 ΕΔΑ に等しい。
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ·
ところが、角 ΑΒΕ は直角である。
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΔΑ·
したがって、角 ΕΔΑ もまた直角である。
ἡ ΕΔ ἄρα πρὸς τὴν ΔΑ ὀρθή ἐστιν.
ゆえに、ΕΔ は ΔΑ に対して垂直である。
ἔστι δὲ καὶ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΔ, ΔΓ ὀρθή.
また、それは ΒΔ, ΔΓ のそれぞれに対しても垂直である。
ἡ ΕΔ ἄρα τρισὶν εὐθείαις ταῖς ΒΔ, ΔΑ, ΔΓ πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς ἁφῆς ἐφέστηκεν·
したがって、ΕΔ は3つの直線 ΒΔ, ΔΑ, ΔΓ に対してそれらの接点において垂直に立てられている。
αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΔ, ΔΑ, ΔΓ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
ゆえに、3つの直線 ΒΔ, ΔΑ, ΔΓ は同一の平面上にある。
ἐν ᾧ δὲ αἱ ΔΒ, ΔΑ, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΑΒ·
ところが、ΔΒ, ΔΑ があるのと同じ平面内に ΑΒ もある。
πᾶν γὰρ τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ·
なぜなら、すべての三角形は同一の平面上にあるからである。
αἱ ἄρα ΑΒ, ΒΔ, ΔΓ εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
したがって、直線 ΑΒ, ΒΔ, ΔΓ は同一の平面上にある。
καί ἐστιν ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΒΔ, ΒΔΓ γωνιῶν·
そして、角 ΑΒΔ, ΒΔΓ のそれぞれは直角である。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν, παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι·
したがって、ΑΒ は ΓΔ に平行である。 したがって、2つの直線が同一の平面に対して垂直であるならば、それらの直線は平行である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。