§11.prop.5ἐὰν εὐθεῖα τρισὶν εὐθείαις ἁπτομέναις ἀλλήλων πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
만약 직선이 서로 접하는 세 직선에 대해 그 공통 교점치에서 수직으로 세워진다면, 그 세 직선은 한 평면 위에 있을 것이다.
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τρισὶν εὐθείαις ταῖς ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κατὰ τὸ Β ἁφῆς ἐφεστάτω·
왜냐하면 어떤 직선 ΑΒ가 세 직선 ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ에 대해 점 Β에서의 접점에서 수직으로 세워져 있다고 하자.
λέγω, ὅτι αἱ ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
나는 ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ가 한 평면 위에 있다고 주장한다.
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἔστωσαν αἱ μὲν ΒΔ, ΒΕ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, ἡ δὲ ΒΓ ἐν μετεωροτέρῳ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπίπεδον·
그렇지 않다고 하고, 가능하다면 ΒΔ, ΒΕ는 아래에 있는 평면 위에 있고, ΒΓ는 더 높은 평면 위에 있다고 하자. 그리고 ΑΒ, ΒΓ를 지나는 평면이 연장된다고 하자.
κοινὴν δὴ τομὴν ποιήσει ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν.
그렇다면 그것은 아래에 있는 평면과 공통 교선으로서 한 직선을 만들 것이다.
ποιείτω τὴν ΒΖ. ἐν ἑνὶ ἄρα εἰσὶν ἐπιπέδῳ τῷ διηγμένῳ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΓ αἱ τρεῖς εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΒΖ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΔ, ΒΕ, καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΔ, ΒΕ ἄρα ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ. τὸ δὲ διὰ τῶν ΒΔ, ΒΕ ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενόν ἐστιν·
그것을 ΒΖ라고 하자. 따라서 세 직선 ΑΒ, ΒΓ, ΒΖ는 ΑΒ, ΒΓ를 지나 그어진 한 평면 위에 있다. 그리고 ΑΒ는 ΒΔ, ΒΕ 각각에 대해 수직이므로, ΑΒ는 ΒΔ, ΒΕ를 지나는 평면과도 수직이다. 그런데 ΒΔ, ΒΕ를 지나는 평면은 아래에 있는 평면이다.
ἡ ΑΒ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον.
따라서 ΑΒ는 아래에 있는 평면과 수직이다.
ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας ἡ ΑΒ. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΒΖ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ·
따라서 ΑΒ는 자신과 접하고 아래에 있는 평면 안에 있는 모든 직선과도 직각을 이룰 것이다. 그런데 아래에 있는 평면 안에 있는 ΒΖ는 ΑΒ와 접한다.
ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΖ γωνία ὀρθή ἐστιν.
따라서 각 ΑΒΖ는 직각이다.
ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὀρθή·
그런데 각 ΑΒΓ도 직각이라고 가정되었다.
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. καί εἰσιν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ·
따라서 각 ΑΒΖ는 각 ΑΒΓ와 같다. 그리고 그것들은 한 평면 위에 있다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἡ ΒΓ εὐθεῖα ἐν μετεωροτέρῳ ἐστὶν ἐπιπέδῳ·
그러므로 직선 ΒΓ는 더 높은 평면 위에 있지 않다.
αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
따라서 세 직선 ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ는 한 평면 위에 있다.
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα τρισὶν εὐθείαις ἁπτομέναις ἀλλήλων ἐπὶ τῆς ἁφῆς πρὸς ὀρθὰς ἐπισταθῇ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ·
따라서 만약 직선이 서로 접하는 세 직선에 대해 그 접점에서 수직으로 세워진다면, 그 세 직선은 한 평면 위에 있을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§11.prop.6ἐὰν δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν, παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι.
만약 두 직선이 같은 평면과 수직이면, 그 직선들은 평행할 것이다.
δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστωσαν·
왜냐하면 두 직선 ΑΒ, ΓΔ가 아래에 있는 평면과 수직이라고 하자.
λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
συμβαλλέτωσαν γὰρ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ Β, Δ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ εὐθεῖα, καὶ ἤχθω τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ ΔΕ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΑΕ, ΑΔ.
καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας.
나는 ΑΒ가 ΓΔ와 평행하다고 주장한다. 왜냐하면 그것들이 아래에 있는 평면과 점 Β, Δ에서 만난다고 하고, 직선 ΒΔ가 연결되며, 아래에 있는 평면 안에서 ΒΔ와 수직이 되도록 ΔΕ가 그어지고, ΔΕ는 ΑΒ와 같게 놓이며, ΒΕ, ΑΕ, ΑΔ가 연결되었다고 하자. 그리고 ΑΒ는 아래에 있는 평면과 수직이므로, 자신과 접하고 아래에 있는 평면 안에 있는 모든 직선과도 직각을 이룰 것이다.
ἅπτεται δὲ τῆς ΑΒ ἑκατέρα τῶν ΒΔ, ΒΕ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ·
그런데 아래에 있는 평면 안에 있는 ΒΔ, ΒΕ 각각은 ΑΒ와 접한다.
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΒΔ, ΑΒΕ γωνιῶν.
따라서 각 각 ΑΒΔ, ΑΒΕ 각각은 직각이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΔΒ, ΓΔΕ ὀρθή ἐστιν.
같은 이유로 각 각 ΓΔΒ, ΓΔΕ 각각도 직각이다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΒΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΔ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΒ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν·
그리고 ΑΒ가 ΔΕ와 같고, ΒΔ는 공통이므로, 두 변 ΑΒ, ΒΔ는 두 변 ΕΔ, ΔΒ와 각각 같으며, 직각을 둘러싸고 있다.
βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση.
따라서 밑변 ΑΔ는 밑변 ΒΕ와 같다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΒΕ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΕ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΑ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΑΕ·
그리고 ΑΒ가 ΔΕ와 같고, 또한 ΑΔ도 ΒΕ와 같으므로, 두 변 ΑΒ, ΒΕ는 두 변 ΕΔ, ΔΑ와 각각 같으며, 그것들의 밑변 ΑΕ는 공통이다.
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΑ ἐστιν ἴση.
따라서 각 ΑΒΕ는 각 ΕΔΑ와 같다.
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ·
그런데 각 ΑΒΕ는 직각이다.
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΔΑ·
따라서 각 각 ΕΔΑ도 직각이다.
ἡ ΕΔ ἄρα πρὸς τὴν ΔΑ ὀρθή ἐστιν.
그러므로 ΕΔ는 ΔΑ와 수직이다.
ἔστι δὲ καὶ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΔ, ΔΓ ὀρθή.
또한 그것은 ΒΔ, ΔΓ 각각과도 수직이다.
ἡ ΕΔ ἄρα τρισὶν εὐθείαις ταῖς ΒΔ, ΔΑ, ΔΓ πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς ἁφῆς ἐφέστηκεν·
그러므로 ΕΔ는 세 직선 ΒΔ, ΔΑ, ΔΓ에 대해 그 접점에서 수직으로 세워져 있다.
αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΔ, ΔΑ, ΔΓ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
따라서 세 직선 ΒΔ, ΔΑ, ΔΓ는 한 평면 위에 있다.
ἐν ᾧ δὲ αἱ ΔΒ, ΔΑ, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΑΒ·
그런데 ΔΒ, ΔΑ가 있는 평면에 ΑΒ도 있다.
πᾶν γὰρ τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ·
왜냐하면 모든 삼각형은 한 평면 위에 있기 때문이다.
αἱ ἄρα ΑΒ, ΒΔ, ΔΓ εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
따라서 직선 ΑΒ, ΒΔ, ΔΓ는 한 평면 위에 있다.
καί ἐστιν ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΒΔ, ΒΔΓ γωνιῶν·
그리고 각 각 ΑΒΔ, ΒΔΓ 각각은 직각이다.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν, παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι·
따라서 ΑΒ는 ΓΔ와 평행하다. 만약 두 직선이 같은 평면과 수직이면, 그 직선들은 평행할 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.