§11.prop.4ἐὰν εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ, καὶ τῷ διʼ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.
如果一条直线在两条相交直线的公共交点处与它们垂直，则它也与包含这两条直线的平面垂直。
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΕΖ δύο εὐθείαις ταῖς ΑΒ, ΓΔ τεμνούσαις ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς ὀρθὰς ἐφεστάτω· λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ καὶ τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΓΔ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
因为，设某条直线 ΕΖ 在点 Ε 处与两条相交直线 ΑΒ、ΓΔ 垂直，自 Ε 设立；我说，ΕΖ 也与包含 ΑΒ、ΓΔ 的平面垂直。
Ἀπειλήφθωσαν γὰρ αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, ΕΔ ἴσαι ἀλλήλαις, καὶ διήχθω τις διὰ τοῦ Ε, ὡς ἔτυχεν, ἡ ΗΕΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΓΒ, καὶ ἔτι ἀπὸ τυχόντος τοῦ Ζ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΑ, ΖΗ, ΖΔ, ΖΓ, ΖΘ, ΖΒ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΕ, ΕΔ δυσὶ ταῖς ΓΕ, ΕΒ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΓΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΕΔ τρίγωνον τῷ ΓΕΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται· ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΒΓ ἴση.
因为，设 ΑΕ、ΕΒ、ΓΕ、ΕΔ 被截取为彼此相等，且让任意直线 ΗΕΘ 穿过 Ε 被引出，并连结 ΑΔ、ΓΒ，此外自任意点 Ζ 连结 ΖΑ、ΖΗ、ΖΔ、ΖΓ、ΖΘ、ΖΒ。 并且，因为两条直线 ΑΕ、ΕΔ 分别等于两条直线 ΓΕ、ΕΒ，且包含相等的角，所以底边 ΑΔ 等于底边 ΓΒ，并且三角形 ΑΕΔ 将等于三角形 ΓΕΒ；因此角 ΔΑΕ 也等于角 ΕΒΓ。
ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΕΘ ἴση.
此外，角 ΑΕΗ 也等于角 ΒΕΘ。
δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΗΕ, ΒΕΘ τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν ΑΕ τῇ ΕΒ· καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξουσιν.
于是，有两个三角形 ΑΗΕ、ΒΕΘ，它们具有两个角分别等于两个角，且有一边等于一边，即在相等角相邻的边 ΑΕ 等于 ΕΒ；因此，它们也将具有其余的边分别等于其余的边。
ἴση ἄρα ἡ μὲν ΗΕ τῇ ΕΘ, ἡ δὲ ΑΗ τῇ ΒΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΕ, βάσις ἄρα ἡ ΖΑ βάσει τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση.
所以 ΗΕ 等于 ΕΘ，且 ΑΗ 等于 ΒΘ。 又因为 ΑΕ 等于 ΕΒ，且 ΖΕ 是公共的且垂直，所以底边 ΖΑ 等于底边 ΖΒ。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΖΓ τῇ ΖΔ ἐστιν ἴση.
由于同样的原因，ΖΓ 也等于 ΖΔ。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΓΒ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΖΒ ἴση, δύο δὴ αἱ ΖΑ, ΑΔ δυσὶ ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΖΔ βάσει τῇ ΖΓ ἐδείχθη ἴση· καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΑΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση ἐστίν.
并且，因为 ΑΔ 等于 ΓΒ，且 ΖΑ 也等于 ΖΒ，所以两条边 ΖΑ、ΑΔ 分别等于两条边 ΖΒ、ΒΓ；且底边 ΖΔ 已被证明等于底边 ΖΓ；从而角 ΖΑΔ 也等于角 ΖΒΓ。
καὶ ἐπεὶ πάλιν ἐδείχθη ἡ ΑΗ τῇ ΒΘ ἴση, ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΖΒ ἴση, δύο δὴ αἱ ΖΑ, ΑΗ δυσὶ ταῖς ΖΒ, ΒΘ ἴσαι εἰσίν.
并且，因为 ΑΗ 再次被证明等于 ΒΘ，而 ΖΑ 也等于 ΖΒ，所以两条边 ΖΑ、ΑΗ 分别等于两条边 ΖΒ、ΒΘ。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΑΗ ἐδείχθη ἴση τῇ ὑπὸ ΖΒΘ· βάσις ἄρα ἡ ΖΗ βάσει τῇ ΖΘ ἐστιν ἴση.
且角 ΖΑΗ 已被证明等于角 ΖΒΘ；所以底边 ΖΗ 等于底边 ΖΘ。
καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐδείχθη ἡ ΗΕ τῇ ΕΘ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΗΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΘΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις ἡ ΖΗ βάσει τῇ ΖΘ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ ἴση ἐστίν.
并且，因为 ΗΕ 再次被证明等于 ΕΘ，而 ΕΖ 是公共的，所以两条边 ΗΕ、ΕΖ 分别等于两条边 ΘΕ、ΕΖ；且底边 ΖΗ 等于底边 ΖΘ；因此角 ΗΕΖ 于角 ΘΕΖ。
ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΗΕΖ, ΘΕΖ γωνιῶν.
所以角 ΗΕΖ、ΘΕΖ 的每一个都是直角。
ἡ ΖΕ ἄρα πρὸς τὴν ΗΘ τυχόντως διὰ τοῦ Ε ἀχθεῖσαν ὀρθή ἐστιν.
因此，ΖΕ 垂直于任意穿过 Ε 被引出的 ΗΘ。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ ΖΕ καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας.
同样地，我们将证明，对于所有与它相接且在给定的平面内的直线，ΖΕ 也将使它们成直角。
εὐθεῖα δὲ πρὸς ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν, ὅταν πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιῇ γωνίας· ἡ ΖΕ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
而当一条直线与同一平面内所有与它相接的直线都成直角时，这条直线就垂直于该平面；因此 ΖΕ 垂直于给定的平面。
τὸ δὲ ὑποκείμενον ἐπίπεδόν ἐστι τὸ διὰ τῶν ΑΒ, ΓΔ εὐθειῶν.
而给定的平面就是包含直线 ΑΒ、ΓΔ 的平面。
ἡ ΖΕ ἄρα πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΓΔ ἐπιπέδῳ.
因此 ΖΕ 垂直于包含 ΑΒ、ΓΔ 的平面。
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ, καὶ τῷ διʼ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，如果一条直线在两条相交直线的公共交点处与它们垂直，则它也与包含这两条直线的平面垂直；这就是所要证明的。