§11.prop.1εὐθείας γραμμῆς μέρος μέν τι οὐκ ἔστιν ἐν τῷ ὑποκειμένῳ, ἐπιπέδῳ, μέρος δέ τι ἐν μετεωροτέρῳ.
直线的一部分不能在给定的平面内，而另一部分在较高的空间内。
εἰ γὰρ δυνατόν, εὐθείας γραμμῆς τῆς ΑΒΓ μέρος μέν τι τὸ ΑΒ ἔστω ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μέρος δέ τι τὸ ΒΓ ἐν μετεωροτέρῳ.
因为，如果可能的话，设直线 ΑΒΓ 的一部分 ΑΒ 在给定的平面内，而另一部分 ΒΓ 在较高的空间内。
ἔσται δή τις τῇ ΑΒ συνεχὴς εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ.
那么，在给定的平面内，必有一条与 ΑΒ 连续且在同一直线上的直线。
ἔστω ἡ ΒΔ· δύο ἄρα εὐθειῶν τῶν ΑΒΓ, ΑΒΔ κοινὸν τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΒ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον, ἐπειδήπερ ἐὰν κέντρῳ τῷ Β καὶ διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλον γράψωμεν, αἱ διάμετροι ἀνίσους ἀπολήψονται τοῦ κύκλου περιφερείας.
设它为 ΒΔ；因此，对于两条直线 ΑΒΓ、ΑΒΔ， ΑΒ 是它们的公共线段；这是不可能的，因为如果以 Β 为圆心、ΑΒ 为半径作一个圆，这些直径将截取圆的不等弧。
εὐθείας ἄρα γραμμῆς μέρος μέν τι οὐκ ἔστιν ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ ἐν μετεωροτέρῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，直线的一部分不在给定的平面内，而另一部分在较高的空间内；这就是所要证明的。
§11.prop.2ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ, καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.
如果两条直线相交，则它们在同一平面内，并且每一个三角形都在同一平面内。
δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον· λέγω, ὅτι αἱ ΑΒ, ΓΔ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ, καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.
因为，设两条直线 ΑΒ、ΓΔ 相交于点 Ε；我说，ΑΒ、ΓΔ 在同一平面内，并且每一个三角形都在同一平面内。
εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῶν ΕΓ, ΕΒ τυχόντα σημεῖα τὰ Ζ, Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΒ, ΖΗ, καὶ διήχθωσαν αἱ ΖΘ, ΗΚ· λέγω πρῶτον, ὅτι τὸ ΕΓΒ τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.
因为，在 ΕΓ、ΕΒ 上任取点 Ζ、Η，连结 ΓΒ、ΖΗ，并引出 ΖΘ、ΗΚ；我首先说，三角形 ΕΓΒ 在同一平面内。
εἰ γάρ ἐστι τοῦ ΕΓΒ τριγώνου μέρος ἤτοι τὸ ΖΘΓ ἢ τὸ ΗΒΚ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ, τὸ δὲ λοιπὸν ἐν ἄλλῳ, ἔσται καὶ μιᾶς τῶν ΕΓ, ΕΒ εὐθειῶν μέρος μέν τι ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ ἐν ἄλλῳ.
因为如果三角形 ΕΓΒ 的一部分，即 ΖΘΓ 或 ΗΒΚ 之一在给定的平面内，而其余部分在另一个平面内，那么直线 ΕΓ、ΕΒ 之一也将是一部分在给定的平面内，另一部分在另一个平面内。
εἰ δὲ τοῦ ΕΓΒ τριγώνου τὸ ΖΓΒΗ μέρος ᾖ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ λοιπὸν ἐν ἄλλῳ, ἔσται καὶ ἀμφοτέρων τῶν ΕΓ, ΕΒ εὐθειῶν μέρος μέν τι ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ ἐν ἄλλῳ· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη.
但如果三角形 ΕΓΒ 的部分 ΖΓΒΗ 在给定的平面内，而其余部分在另一个平面内，那么两条直线 ΕΓ、ΕΒ 都将是一部分在给定的平面内，另一部分在另一个平面内；这已被证明是荒谬的。
τὸ ἄρα ΕΓΒ τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.
因此，三角形 ΕΓΒ 在同一平面内。
ἐν ᾧ δέ ἐστι τὸ ΕΓΒ τρίγωνον, ἐν τούτῳ καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΓ, ΕΒ, ἐν ᾧ δὲ ἑκατέρα τῶν ΕΓ, ΕΒ, ἐν τούτῳ καὶ αἱ ΑΒ, ΓΔ. αἱ ΑΒ, ΓΔ ἄρα εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ, καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ·
而在三角形 ΕΓΒ 所在的平面内，也有 ΕΓ、ΕΒ 的每一条；而在 ΕΓ、ΕΒ 每一条所在的平面内，也有 ΑΒ、ΓΔ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，直线 ΑΒ、ΓΔ 在同一平面内，并且每一个三角形都在同一平面内；这就是所要证明的。
§11.prop.3ἐὰν δύο ἐπίπεδα τέμνῃ ἄλληλα, ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ εὐθεῖά ἐστιν.
如果两个平面相交，则它们的公共交线是一条直线。
δύο γὰρ ἐπίπεδα τὰ ΑΒ, ΒΓ τεμνέτω ἄλληλα, κοινὴ δὲ αὐτῶν τομὴ ἔστω ἡ ΔΒ γραμμή· λέγω, ὅτι ἡ ΔΒ γραμμὴ εὐθεῖά ἐστιν.
因为，设两个平面 ΑΒ、ΒΓ 相交，它们的公共交线为线 ΔΒ；我说，线 ΔΒ 是一条直线。
εἰ γὰρ μή, ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Β ἐν μὲν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ ΔΕΒ, ἐν δὲ τῷ ΒΓ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ ΔΖΒ. ἔσται δὴ δύο εὐθειῶν τῶν ΔΕΒ, ΔΖΒ τὰ αὐτὰ πέρατα, καὶ περιέξουσι δηλαδὴ χωρίον·
因为如果不是这样，自 Δ 到 Β，在平面 ΑΒ 内连结直线 ΔΕΒ，在平面 ΒΓ 内连结直线 ΔΖΒ。
ὅπερ ἄτοπον.
那么两条直线 ΔΕΒ、ΔΖΒ 将具有相同的端点，并且显然将包围一个区域；这是荒谬的。
οὐκ ἄρα αἱ ΔΕΒ, ΔΖΒ εὐθεῖαί εἰσιν.
因此，ΔΕΒ、ΔΖΒ 不是直线。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλη τις ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἔσται πλὴν τῆς ΔΒ κοινῆς τομῆς τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπιπέδων.
同样地，我们将证明，除了 ΑΒ、ΒΓ 平面的公共交线 ΔΒ 之外，没有其他自 Δ 到 Β 连结的直线。
ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα τέμνῃ ἄλληλα, ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ εὐθεῖά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，如果两个平面相交，则它们的公共交线是一条直线；这就是所要证明的。