§11.prop.4ἐὰν εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ, καὶ τῷ διʼ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.
만약 직선이 서로 만나는 두 직선에 대해 그 공통 교선에서 수직으로 세워진다면, 그것은 또한 그것들에 의해 결정되는 평면과도 수직일 것이다.
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΕΖ δύο εὐθείαις ταῖς ΑΒ, ΓΔ τεμνούσαις ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς ὀρθὰς ἐφεστάτω·
왜냐하면 어떤 직선 ΕΖ가 점 Ε에서 서로 만나는 두 직선 ΑΒ, ΓΔ 에 대해 Ε로부터 수직으로 세워져 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ καὶ τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΓΔ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
나는 ΕΖ가 ΑΒ, ΓΔ에 의해 결정되는 평면과도 수직이라고 주장한다.
Ἀπειλήφθωσαν γὰρ αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, ΕΔ ἴσαι ἀλλήλαις, καὶ διήχθω τις διὰ τοῦ Ε, ὡς ἔτυχεν, ἡ ΗΕΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΓΒ, καὶ ἔτι ἀπὸ τυχόντος τοῦ Ζ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΑ, ΖΗ, ΖΔ, ΖΓ, ΖΘ, ΖΒ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΕ, ΕΔ δυσὶ ταῖς ΓΕ, ΕΒ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΓΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΕΔ τρίγωνον τῷ ΓΕΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται·
왜냐하면 ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, ΕΔ가 서로 같게 잘라졌다고 하고, Ε를 지나는 임의의 직선 ΗΕΘ가 그어졌다고 하자. 또한 ΑΔ, ΓΒ가 연결되고, 더욱이 임의의 점 Ζ로부터 ΖΑ, ΖΗ, ΖΔ, ΖΓ, ΖΘ, ΖΒ가 연결되었다고 하자. 그리고 두 직선 ΑΕ, ΕΔ가 두 직선 ΓΕ, ΕΒ와 각각 같고 또한 같은 각을 둘러싸고 있으므로, 밑변 ΑΔ는 밑변 ΓΒ와 같고, 삼각형 ΑΕΔ는 삼각형 ΓΕΒ와 같을 것이다.
ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΒΓ ἴση.
따라서 각 ΔΑΕ도 각 ΕΒΓ와 같다.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΕΘ ἴση.
또한 각 각 ΑΕΗ도 각 ΒΕΘ와 같다.
δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΗΕ, ΒΕΘ τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν ΑΕ τῇ ΕΒ·
그리하여 두 삼각형 ΑΗΕ, ΒΕΘ는 두 각이 두 각과 각각 같고 한 변이 한 변과 같다. 즉, 같은 각들에 인접한 변 ΑΕ가 ΕΒ와 같다.
καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξουσιν.
따라서 그것들은 남은 변들도 남은 변들과 각각 같을 것이다.
ἴση ἄρα ἡ μὲν ΗΕ τῇ ΕΘ, ἡ δὲ ΑΗ τῇ ΒΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΕ, βάσις ἄρα ἡ ΖΑ βάσει τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση.
그러므로 ΗΕ는 ΕΘ와 같고, ΑΗ는 ΒΘ와 같다. 그리고 ΑΕ가 ΕΒ와 같고, ΖΕ는 공통이면서 수직이므로, 밑변 ΖΑ는 밑변 ΖΒ와 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΖΓ τῇ ΖΔ ἐστιν ἴση.
같은 이유로 ΖΓ도 ΖΔ와 같다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΓΒ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΖΒ ἴση, δύο δὴ αἱ ΖΑ, ΑΔ δυσὶ ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
그리고 ΑΔ가 ΓΒ와 같고, 또한 ΖΑ도 ΖΒ와 같으므로, 두 변 ΖΑ, ΑΔ는 두 변 ΖΒ, ΒΓ와 각각 같다.
καὶ βάσις ἡ ΖΔ βάσει τῇ ΖΓ ἐδείχθη ἴση·
그리고 밑변 ΖΔ는 밑변 ΖΓ와 같다고 증명되었다.
καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΑΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση ἐστίν.
따라서 각 ΖΑΔ도 각 ΖΒΓ와 같다.
καὶ ἐπεὶ πάλιν ἐδείχθη ἡ ΑΗ τῇ ΒΘ ἴση, ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΖΒ ἴση, δύο δὴ αἱ ΖΑ, ΑΗ δυσὶ ταῖς ΖΒ, ΒΘ ἴσαι εἰσίν.
그리고 다시 ΑΗ가 ΒΘ와 같다고 증명되었고, 또한 ΖΑ도 ΖΒ와 같으므로, 두 변 ΖΑ, ΑΗ는 두 변 ΖΒ, ΒΘ와 각각 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΑΗ ἐδείχθη ἴση τῇ ὑπὸ ΖΒΘ·
그리고 각 각 ΖΑΗ는 각 ΖΒΘ와 같다고 증명되었다.
βάσις ἄρα ἡ ΖΗ βάσει τῇ ΖΘ ἐστιν ἴση.
따라서 밑변 ΖΗ는 밑변 ΖΘ와 같다.
καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐδείχθη ἡ ΗΕ τῇ ΕΘ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΗΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΘΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν·
그리고 다시 ΗΕ가 ΕΘ와 같다고 증명되었고, ΕΖ는 공통이므로, 두 변 ΗΕ, ΕΖ는 두 변 ΘΕ, ΕΖ와 각각 같다.
καὶ βάσις ἡ ΖΗ βάσει τῇ ΖΘ ἴση·
그리고 밑변 ΖΗ는 밑변 ΖΘ와 같으므로, 각 ΗΕΖ는 각 ΘΕΖ와 같다.
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ ἴση ἐστίν. ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΗΕΖ, ΘΕΖ γωνιῶν.
따라서 각 ΗΕΖ, ΘΕΖ의 각각은 직각이다.
ἡ ΖΕ ἄρα πρὸς τὴν ΗΘ τυχόντως διὰ τοῦ Ε ἀχθεῖσαν ὀρθή ἐστιν.
그러므로 ΖΕ는 Ε를 지나 임의로 그어진 ΗΘ에 대해 수직이다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ ΖΕ καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας.
마찬가지로 우리는 ΖΕ가 자신과 접하고 아래에 있는 평면 안에 있는 모든 직선과도 직각을 이룰 것임을 증명할 수 있다.
εὐθεῖα δὲ πρὸς ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν, ὅταν πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιῇ γωνίας·
그런데 직선이 평면과 수직이라는 것은, 그것이 자신과 접하고 같은 평면 안에 있는 모든 직선과 직각을 이룰 때를 말한다.
ἡ ΖΕ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
따라서 ΖΕ는 아래에 있는 평면과 수직이다.
τὸ δὲ ὑποκείμενον ἐπίπεδόν ἐστι τὸ διὰ τῶν ΑΒ, ΓΔ εὐθειῶν.
그리고 아래에 있는 평면은 직선 ΑΒ, ΓΔ에 의해 결정되는 평면이다.
ἡ ΖΕ ἄρα πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΓΔ ἐπιπέδῳ.
따라서 ΖΕ는 ΑΒ, ΓΔ에 의해 결정되는 평면과 수직이다.
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ, καὶ τῷ διʼ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται·
따라서 만약 직선이 서로 만나는 두 직선에 대해 그 공통 교선에서 수직으로 세워진다면, 그것은 또한 그것들에 의해 결정되는 평면과도 수직일 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.