§11.prop.4ἐὰν εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ, καὶ τῷ διʼ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.
直線が、互いに交わる2つの直線に対して、それらの共通の交点において垂直に立てられるならば、それはまた、それらを通る平面に対しても垂直である。
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΕΖ δύο εὐθείαις ταῖς ΑΒ, ΓΔ τεμνούσαις ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς ὀρθὰς ἐφεστάτω·
なぜなら、ある直線 ΕΖ が、点 Ε において互いに交わる2つの直線 ΑΒ, ΓΔ に対して、Ε から垂直に立てられているとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ καὶ τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΓΔ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
私は、ΕΖ が、ΑΒ, ΓΔ を通る平面に対しても垂直であると主張する。
Ἀπειλήφθωσαν γὰρ αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, ΕΔ ἴσαι ἀλλήλαις, καὶ διήχθω τις διὰ τοῦ Ε, ὡς ἔτυχεν, ἡ ΗΕΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΓΒ, καὶ ἔτι ἀπὸ τυχόντος τοῦ Ζ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΑ, ΖΗ, ΖΔ, ΖΓ, ΖΘ, ΖΒ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΕ, ΕΔ δυσὶ ταῖς ΓΕ, ΕΒ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΓΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΕΔ τρίγωνον τῷ ΓΕΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται·
なぜなら、ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, ΕΔ は互いに等しく切り取られたとし、Ε を通る任意の直線 ΗΕΘ が引かれたとせよ。 また、 ΑΔ, ΓΒ が結ばれ、さらに任意の点 Ζ から ΖΑ, ΖΗ, ΖΔ, ΖΓ, ΖΘ, ΖΒ が結ばれたとせよ。 そして、2つの辺 ΑΕ, ΕΔ が2つの辺 ΓΕ, ΕΒ にそれぞれ等しく、かつ等しい角を囲んでいるので、底辺 ΑΔ は底辺 ΓΒ に等しく、三角形 ΑΕΔ は三角形 ΓΕΒ に等しくなる。
ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΒΓ ἴση.
したがって角 ΔΑΕ も角 ΕΒΓ に等しい。
ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΕΘ ἴση.
また、角 ΑΕΗ も角 ΒΕΘ に等しい。
δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΗΕ, ΒΕΘ τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν ΑΕ τῇ ΕΒ·
ゆえに、2つの三角形 ΑΗΕ, ΒΕΘ は、2つの角が2つの角にそれぞれ等しく、1つの辺が1つの辺に等しい。 すなわち、等しい角に隣接する辺 ΑΕ が ΕΒ に等しい。
καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξουσιν.
したがって、それらは残りの辺も残りの辺にそれぞれ等しくなる。
ἴση ἄρα ἡ μὲν ΗΕ τῇ ΕΘ, ἡ δὲ ΑΗ τῇ ΒΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΕ, βάσις ἄρα ἡ ΖΑ βάσει τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση.
ゆえに ΗΕ は ΕΘ に等しく、ΑΗ は ΒΘ に等しい。 そして、ΑΕ は ΕΒ に等しく、ΖΕ は共通であり、かつ垂直であるから、底辺 ΖΑ は底辺 ΖΒ に等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΖΓ τῇ ΖΔ ἐστιν ἴση.
同じ理由で、ΖΓ も ΖΔ に等しい。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΓΒ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΖΒ ἴση, δύο δὴ αἱ ΖΑ, ΑΔ δυσὶ ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΖΔ βάσει τῇ ΖΓ ἐδείχθη ἴση·
そして、ΑΔ は ΓΒ に等しく、また ΖΑ も ΖΒ に等しいので、2つの辺 ΖΑ, ΑΔ は2つの辺 ΖΒ, ΒΓ にそれぞれ等しく、また底辺 ΖΔ は底辺 ΖΓ に等しいと示された。
καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΑΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση ἐστίν.
したがって、角 ΖΑΔ も角 ΖΒΓ に等しい。
καὶ ἐπεὶ πάλιν ἐδείχθη ἡ ΑΗ τῇ ΒΘ ἴση, ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΖΒ ἴση, δύο δὴ αἱ ΖΑ, ΑΗ δυσὶ ταῖς ΖΒ, ΒΘ ἴσαι εἰσίν.
そして、再び ΑΗ が ΒΘ に等しいと示され、さらに ΖΑ も ΖΒ に等しいので、2つの辺 ΖΑ, ΑΗ は2つの辺 ΖΒ, ΒΘ にそれぞれ等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΑΗ ἐδείχθη ἴση τῇ ὑπὸ ΖΒΘ·
そして、角 ΖΑΗ は角 ΖΒΘ に等しいと示された。
βάσις ἄρα ἡ ΖΗ βάσει τῇ ΖΘ ἐστιν ἴση.
したがって、底辺 ΖΗ は底辺 ΖΘ に等しい。
καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐδείχθη ἡ ΗΕ τῇ ΕΘ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΗΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΘΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις ἡ ΖΗ βάσει τῇ ΖΘ ἴση·
そして、再び ΗΕ が ΕΘ に等しいと示され、ΕΖ は共通であるから、2つの辺 ΗΕ, ΕΖ は2つの辺 ΘΕ, ΕΖ に等しく、底辺 ΖΗ は底辺 ΖΘ に等しい。
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ ἴση ἐστίν.
したがって、角 ΗΕΖ は角 ΘΕΖ に等しい。
ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΗΕΖ, ΘΕΖ γωνιῶν.
ゆえに、角 ΗΕΖ, ΘΕΖ のそれぞれは直角である。
ἡ ΖΕ ἄρα πρὸς τὴν ΗΘ τυχόντως διὰ τοῦ Ε ἀχθεῖσαν ὀρθή ἐστιν.
したがって、ΖΕ は、Ε を通って任意に引かれた ΗΘ に対して垂直である。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ ΖΕ καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας.
同様にして、ΖΕ は、それ自身に接し、かつ下にある平面の中にあるすべての直線に対しても、直角を作ることを示すことができる。
εὐθεῖα δὲ πρὸς ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν, ὅταν πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιῇ γωνίας·
ところが、直線が平面に対して垂直であるとは、それが、それ自身に接し、かつ同じ平面内にあるすべての直線に対して、直角を作るときをいう。
ἡ ΖΕ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
したがって、ΖΕ は下にある平面に対して垂直である。
τὸ δὲ ὑποκείμενον ἐπίπεδόν ἐστι τὸ διὰ τῶν ΑΒ, ΓΔ εὐθειῶν.
そして、下にある平面とは、直線 ΑΒ, ΓΔ を通るものである。
ἡ ΖΕ ἄρα πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΓΔ ἐπιπέδῳ.
したがって、ΖΕ は ΑΒ, ΓΔ を通る平面に対して垂直である。
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ, καὶ τῷ διʼ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται·
したがって、直線が、互いに交わる2つの直線に対して、それらの共通の交点において垂直に立てられるならば、それはまた、それらを通る平面に対しても垂直である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。