Humanitext Reader

欧几里得 · 几何原本 §11.prop.31#1

等底同高的直平行六面体相等

第 258 段，共 316 段 · 希腊语

内容简介

命题31的前半部分，证明在等底面上且高度相同的立体平行六面体彼此相等。针对第一种情形（立边垂直于底面），通过构造等价的新立体来进行推导证明。

§11.prop.31#1τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
在等底面上且高度相同的立体平行六面体，彼此相等。
ἔστω ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΕ, ΓΖ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΕ στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ.
设在等底面 ΑΒ, ΓΔ 上有相同高度的立体平行六面体 ΑΕ, ΓΖ；我说，立体 ΑΕ 等于立体 ΓΖ。
ἔστωσαν δὴ πρότερον αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΘΚ, ΒΕ, ΑΗ, ΛΜ, ΟΠ, ΔΖ, ΓΞ, ΡΣ πρὸς ὀρθὰς ταῖς ΑΒ, ΓΔ βάσεσιν, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας τῇ ΓΡ εὐθεῖα ἡ ΡΤ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΡΤ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ρ τῇ ὑπὸ ΑΛΒ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΤΡΥ, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΛ ἴση ἡ ΡΤ, τῇ δὲ ΛΒ ἴση ἡ ΡΥ, καὶ συμπεπληρώσθω ἥ τε ΡΧ βάσις καὶ τὸ ΨΥ στερεόν.
现在，首先设立边 ΘΚ, ΒΕ, ΑΗ, ΛΜ, ΟΠ, ΔΖ, ΓΞ, ΡΣ 垂直于底面 ΑΒ, ΓΔ，且设直线 ΡΤ 与直线 ΓΡ 在同一直线上延长，并在直线 ΡΤ 及其上的点 Ρ 上作角 ΤΡΥ 等于角 ΑΛΒ，且设 ΡΤ 等于 ΑΛ，ΡΥ 等于 ΛΒ，并补足底面 ΡΧ 和立体 ΨΥ。
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΤΡ, ΡΥ δυσὶ ταῖς ΑΛ, ΛΒ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιον τὸ ΡΧ παραλληλόγραμμον τῷ ΘΛ παραλληλογράμμῳ.
由于两个 TR, RY 等于两个 AL, LB，且夹等角，所以平行四边形 ΡΧ 等于且相似于平行四边形 ΘΛ。
καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση μὲν ἡ ΑΛ τῇ ΡΤ, ἡ δὲ ΛΜ τῇ ΡΣ, καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν, ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΡΨ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΜ παραλληλογράμμῳ.
又因为 ΑΛ 等于 ΡΤ，ΛΜ 等于 ΡΣ，且夹直角，所以平行四边形 ΡΨ 等于且相似于平行四边形 ΑΜ。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΛΕ τῷ ΣΥ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον· τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ ΑΕ στερεοῦ τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ ΨΥ στερεοῦ ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια.
同理，ΛΕ 也等于且相似于 ΣΥ；因此立体 ΑΕ 的三个平行四边形等于且相似于立体 ΨΥ 的三个平行四边形。
ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια, τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον· ὅλον ἄρα τὸ ΑΕ στερεὸν παραλληλεπίπεδον ὅλῳ τῷ ΨΥ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἴσον ἐστίν.
但是，这三个面等于且相似于对面的三个面，而那三个面等于且相似于对面的三个面；因此整个立体平行六面体 ΑΕ 等于整个立体平行六面体 ΨΥ。
διήχθωσαν αἱ ΔΡ, ΧΥ καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Ω, καὶ διὰ τοῦ Τ τῇ ΔΩ παράλληλος ἤχθω ἡ #22αΤ#5, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΟΔ κατὰ τὸ #22α, καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΩΨ, ΡΙ στερεά.
设引出 ΔΡ, ΧΥ 并使它们在点 Ω 相交，且通过点 Τ 引 #22αΤ#5 并平行于 ΔΩ，并把 ΟΔ 延长到 #22α，且补足立体 ΩΨ, ΡΙ。
ἴσον δή ἐστι τὸ ΨΩ στερεόν, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΡΨ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ Ω#4, τῷ ΨΥ στερεῷ, οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΨ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΥΦ· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΡΨ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΡΩ, ΡΥ, Τ#5, ΤΧ, Σ#2, Σο͂, Ψ#4, ΨΦ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν τῶν ΩΧ, #2Φ. ἀλλὰ τὸ ΨΥ στερεὸν τῷ ΑΕ ἐστιν ἴσον·
那么，其底面为平行四边形 ΡΨ、对面为 Ω#4 的立体 ΨΩ，等于其底面为平行四边形 ΡΨ、对面为 ΥΦ 的立体 ΨΥ；因为它们在同一底面 ΡΨ 上，且高度相同，它们的立边 ΡΩ, ΡΥ, Τ#5, ΤΧ, Σ#2, Σο͂, Ψ#4, ΨΦ 在同一直线 ΩΧ, #2Φ 上。
καὶ τὸ ΨΩ ἄρα στερεὸν τῷ ΑΕ στερεῷ ἐστιν ἴσον.
但是立体 ΨΥ 等于立体 ΑΕ；从而立体 ΨΩ 也等于立体 ΑΕ。

词汇与语法注释

  1. §11.prop.31#1τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν — 这是古典希腊语中典型的“中性复数主语搭配单数动词”（雅典式构文）用法，此处中性复数主语 τὰ στερεὰ παραλληλεπίπεδα 支配单数动词 ἐστίν。
  2. §11.prop.31#1ἔστωσαν δὴ πρότερον αἱ ἐφεστηκυῖαι ... πρὸς ὀρθὰς ταῖς ΑΒ, ΓΔ βάσεσιν — 动词 ἔστωσαν 为第三人称复数命令行动词，是几何学文本中设定作图前提的惯用句型。短语 πρὸς ὀρθάς 支配与格 ταῖς βάσεσιν，表示“与底面成直角”。
  3. §11.prop.31#1συνεστάτω πρὸς τῇ ΡΤ εὐθείᾳ ... τῇ ὑπὸ ΑΛΒ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΤΡΥ — 第三人称单数被动命令行动词 συνεστάτω 的主语是省略了 γωνία 的 ἡ ὑπὸ ΤΡΥ，而 τῇ ὑπὸ ΑΛΒ γωνίᾳ ἴση 是修饰它的形容词短语。表示角的短语 ἡ ὑπὸ ΑΛΒ 是 ἡ ὑπὸ ΑΛΒ περιεχομένη γωνία（由A, L, B包围的角）的省略形式。
  4. §11.prop.31#1τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ ΑΕ στερεοῦ τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ ΨΥ στερεοῦ ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια — 属格 τοῦ ΑΕ στερεοῦ 和 τοῦ ΨΥ στερεοῦ 表示所属关系。与格 τρισὶ παραλληλογράμμοις 由形容词 ἴσα καὶ ὅμοια 支配，表示与之“相等且相似”的比较对象。

引用这一段

欧几里得, 几何原本 §11.prop.31#1. Humanitext Reader, https://reader.humanitext.ai/zh/text/urn:cts:greekLit:tlg1799.tlg001.humanitext-grc2:11.prop.31%231

请注明译文为AI草稿以及访问日期。

译文、注释与简介为AI生成的草稿，并根据读者反馈持续修订。