§11.prop.31#1τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
등가인 밑면 위에 있고 높이가 같은 입체 평행육면체들은 서로 같다.
ἔστω ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΕ, ΓΖ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος·
등가인 밑면 ΑΒ, ΓΔ 위에 있고 높이가 같은 입체 평행육면체 ΑΕ, ΓΖ가 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΕ στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ.
나는 입체 ΑΕ가 입체 ΓΖ와 같다고 주장한다.
ἔστωσαν δὴ πρότερον αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΘΚ, ΒΕ, ΑΗ, ΛΜ, ΟΠ, ΔΖ, ΓΞ, ΡΣ πρὸς ὀρθὰς ταῖς ΑΒ, ΓΔ βάσεσιν, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας τῇ ΓΡ εὐθεῖα ἡ ΡΤ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΡΤ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ρ τῇ ὑπὸ ΑΛΒ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΤΡΥ, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΛ ἴση ἡ ΡΤ, τῇ δὲ ΛΒ ἴση ἡ ΡΥ, καὶ συμπεπληρώσθω ἥ τε ΡΧ βάσις καὶ τὸ ΨΥ στερεόν.
우선 기립선 ΘΚ, ΒΕ, ΑΗ, ΛΜ, ΟΠ, ΔΖ, ΓΞ, ΡΣ가 밑면 ΑΒ, ΓΔ에 대하여 수직이라고 하자. 그리고 직선 ΓΡ와 일직선이 되도록 직선 ΡΤ가 연장되었다고 하자. 또한 직선 ΡΤ와 그 위의 점 Ρ에서 각 ΑΛΒ와 같은 각 ΤΡΥ가 만들어졌다고 하자. 그리고 ΑΛ과 같게 ΡΤ가, ΛΒ와 같게 ΡΥ가 놓이고, 밑면 ΡΧ와 입체 ΨΥ가 완성되었다고 하자.
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΤΡ, ΡΥ δυσὶ ταῖς ΑΛ, ΛΒ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιον τὸ ΡΧ παραλληλόγραμμον τῷ ΘΛ παραλληλογράμμῳ.
두 변 ΤΡ, ΡΥ가 두 변 ΑΛ, ΛΒ와 같고 같은 각을 끼고 있으므로, 평행사변형 ΡΧ는 평행사변형 ΘΛ과 같고 닮음이다.
καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση μὲν ἡ ΑΛ τῇ ΡΤ, ἡ δὲ ΛΜ τῇ ΡΣ, καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν, ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΡΨ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΜ παραλληλογράμμῳ.
또한 다시 ΑΛ은 ΡΤ와 같고, ΛΜ은 ΡΣ와 같으며, 직각을 끼고 있으므로, 평행사변형 ΡΨ는 평행사변형 ΑΜ과 같고 닮음이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΛΕ τῷ ΣΥ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον·
똑같은 이유로, ΛΕ도 ΣΥ와 같고 닮음이다.
τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ ΑΕ στερεοῦ τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ ΨΥ στερεοῦ ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια.
그러므로 입체 ΑΕ의 세 평행사변형은 입체 ΨΥ의 세 평행사변형과 각각 같고 닮음이다.
ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια, τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον·
그런데 이 세 면은 그것들과 마주 보는 세 면과 각각 같고 닮음이며, 저 세 면도 그것들과 마주 보는 세 면과 각각 같고 닮음이다.
ὅλον ἄρα τὸ ΑΕ στερεὸν παραλληλεπίπεδον ὅλῳ τῷ ΨΥ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἴσον ἐστίν.
그러므로 전체 입체 평행육면체 ΑΕ는 전체 입체 평행육면체 ΨΥ와 같다.
διήχθωσαν αἱ ΔΡ, ΧΥ καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Ω, καὶ διὰ τοῦ Τ τῇ ΔΩ παράλληλος ἤχθω ἡ #22αΤ#5, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΟΔ κατὰ τὸ #22α, καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΩΨ, ΡΙ στερεά.
ΔΡ, ΧΥ가 그려져서 점 Ω에서 서로 만나게 하고, Τ를 지나며 ΔΩ에 평행하게 #22αΤ#5가 그려지게 하고, ΟΔ가 #22α까지 연장되게 하고, 입체 ΩΨ, ΡΙ가 완성되었다고 하자.
ἴσον δή ἐστι τὸ ΨΩ στερεόν, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΡΨ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ Ω#4, τῷ ΨΥ στερεῷ, οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΨ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΥΦ·
그러면 밑면은 평행사변형 ΡΨ이고 마주 보는 면은 Ω#4인 입체 ΨΩ는, 밑면은 평행사변형 ΡΨ이고 마주 보는 면은 ΥΦ인 입체 ΨΥ와 같다.
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΡΨ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΡΩ, ΡΥ, Τ#5, ΤΧ, Σ#2, Σο͂, Ψ#4, ΨΦ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν τῶν ΩΧ, #2Φ. ἀλλὰ τὸ ΨΥ στερεὸν τῷ ΑΕ ἐστιν ἴσον·
왜냐하면 그것들은 동일한 밑면 ΡΨ 위에 있고 높이가 같으며, 그것들의 기립선 ΡΩ, ΡΥ, Τ#5, ΤΧ, Σ#2, Σο͂, Ψ#4, ΨΦ가 동일한 직선 ΩΧ, #2Φ 위에 있기 때문이다. 그런데 입체 ΨΥ는 입체 ΑΕ와 같다.
καὶ τὸ ΨΩ ἄρα στερεὸν τῷ ΑΕ στερεῷ ἐστιν ἴσον.
그러므로 입체 ΨΩ도 입체 ΑΕ와 같다.