§11.prop.31#1τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
等しい底面上にあり、かつ同じ高さをもつ立体平行六面体は、互いに等しい。
ἔστω ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΕ, ΓΖ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος·
等しい底面 ΑΒ, ΓΔ の上に、同じ高さをもつ立体平行六面体 ΑΕ, ΓΖ があるとせよ。
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΕ στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ.
私は、立体 ΑΕ は立体 ΓΖ に等しいと主張する。
ἔστωσαν δὴ πρότερον αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΘΚ, ΒΕ, ΑΗ, ΛΜ, ΟΠ, ΔΖ, ΓΞ, ΡΣ πρὸς ὀρθὰς ταῖς ΑΒ, ΓΔ βάσεσιν, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας τῇ ΓΡ εὐθεῖα ἡ ΡΤ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΡΤ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ρ τῇ ὑπὸ ΑΛΒ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΤΡΥ, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΛ ἴση ἡ ΡΤ, τῇ δὲ ΛΒ ἴση ἡ ΡΥ, καὶ συμπεπληρώσθω ἥ τε ΡΧ βάσις καὶ τὸ ΨΥ στερεόν.
そこでまず、立ち上がる辺 ΘΚ, ΒΕ, ΑΗ, ΛΜ, ΟΠ, ΔΖ, ΓΞ, ΡΣ は底面 ΑΒ, ΓΔ に対して直角であるとせよ。 そして、直線 ΓΡ と一直線をなすように直線 ΡΤ が延長されたとせよ。 また、直線 ΡΤ とその上の点 Ρ において、角 ΑΛΒ に等しい角 ΤΡΥ が作られたとせよ。 そして ΑΛ に等しく ΡΤ が、 ΛΒ に等しく ΡΥ が置かれ、底面 ΡΧ と立体 ΨΥ が完成されたとせよ。
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΤΡ, ΡΥ δυσὶ ταῖς ΑΛ, ΛΒ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιον τὸ ΡΧ παραλληλόγραμμον τῷ ΘΛ παραλληλογράμμῳ.
そして、2つの辺 ΤΡ, ΡΥ は2つの辺 ΑΛ, ΛΒ に等しく、かつ等しい角を挟んでいるから、平行四辺形 ΡΧ は平行四辺形 ΘΛ に等しく、かつ相似である。
καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση μὲν ἡ ΑΛ τῇ ΡΤ, ἡ δὲ ΛΜ τῇ ΡΣ, καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν, ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΡΨ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΜ παραλληλογράμμῳ.
またさらに、 ΑΛ は ΡΤ に、 ΛΜ は ΡΣ に等しく、かつ直角を挟んでいるから、平行四辺形 ΡΨ は平行四辺形 ΑΜ に等しく、かつ相似である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΛΕ τῷ ΣΥ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον·
まったく同じ理由によって、 ΛΕ も ΣΥ に等しく、かつ相似である。
τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ ΑΕ στερεοῦ τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ ΨΥ στερεοῦ ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια.
したがって、立体 ΑΕ の3つの平行四辺形は、立体 ΨΥ の3つの平行四辺形にそれぞれ等しく、かつ相似である。
ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια, τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον·
ところが、その3つの面はそれらに対向する3つの面にそれぞれ等しく、かつ相似であり、一方、その3つの面もそれらに対向する3つの面にそれぞれ等しく、かつ相似である。
ὅλον ἄρα τὸ ΑΕ στερεὸν παραλληλεπίπεδον ὅλῳ τῷ ΨΥ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἴσον ἐστίν.
したがって、全体としての立体平行六面体 ΑΕ は、全体としての立体平行六面体 ΨΥ に等しいのである。
διήχθωσαν αἱ ΔΡ, ΧΥ καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Ω, καὶ διὰ τοῦ Τ τῇ ΔΩ παράλληλος ἤχθω ἡ #22αΤ#5, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΟΔ κατὰ τὸ #22α, καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΩΨ, ΡΙ στερεά.
さて、 ΔΡ, ΧΥ が引かれて点 Ω において互いに交わったとせよ。 そして Τ を通り ΔΩ に平行に #22αΤ#5 が引かれたとせよ。 また ΟΔ は #22α に向かって延長されたとせよ。 そして立体 ΩΨ, ΡΙ が完成されたとせよ。
ἴσον δή ἐστι τὸ ΨΩ στερεόν, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΡΨ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ Ω#4, τῷ ΨΥ στερεῷ, οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΨ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΥΦ·
そこで、底面が平行四辺形 ΡΨ であり、それに対向する面が Ω#4 である立体 ΨΩ は、底面が平行四辺形 ΡΨ であり、それに対向する面が ΥΦ である立体 ΨΥ に等しい。
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΡΨ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΡΩ, ΡΥ, Τ#5, ΤΧ, Σ#2, Σο͂, Ψ#4, ΨΦ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν τῶν ΩΧ, #2Φ. ἀλλὰ τὸ ΨΥ στερεὸν τῷ ΑΕ ἐστιν ἴσον·
なぜなら、それらは同一の底面 ΡΨ の上にあり、かつ同じ高さをもっており、それらの立ち上がる辺 ΡΩ, ΡΥ, Τ#5, ΤΧ, Σ#2, Σο͂, Ψ#4, ΨΦ は同一の直線 ΩΧ, #2Φ 上にあるからである。 しかし、立体 ΨΥ は立体 ΑΕ に等しい。
καὶ τὸ ΨΩ ἄρα στερεὸν τῷ ΑΕ στερεῷ ἐστιν ἴσον.
したがって、立体 ΨΩ も立体 ΑΕ に等しい。