§11.prop.27ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τῷ δοθέντι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἀναγράψαι.
在给定的直线上，构造一个与给定的立体平行六面体相似且同样放置的立体平行六面体。
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΓΔ· δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ τῷ δοθέντι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ τῷ ΓΔ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἀναγράψαι.
设给定的直线为 ΑΒ，给定的立体平行六面体为 ΓΔ；要求在给定的直线 ΑΒ 上，构造一个与给定的立体平行六面体 ΓΔ 相似且同样放置的立体平行六面体。
συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Γ στερεᾷ γωνίᾳ ἴση ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΒΑΘ, ΘΑΚ, ΚΑΒ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ὑπὸ ΒΑΘ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΓΖ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΑΚ τῇ ὑπὸ ΕΓΗ, τὴν δὲ ὑπὸ ΚΑΘ τῇ ὑπὸ ΗΓΖ· καὶ γεγονέτω ὡς μὲν ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΚ, ὡς δὲ ἡ ΗΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΚΑ πρὸς τὴν ΑΘ. καὶ διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΘ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΘΒ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ ΑΛ στερεόν.
因为，设在直线 ΑΒ 及其上的点 Α 处，构造一个等于在 Γ 处的立体角、由角 ΒΑΘ, ΘΑΚ, ΚΑΒ 包围的立体角，使得角 ΒΑΘ 等于角 ΕΓΖ，角 ΒΑΚ 等于角 ΕΓΗ，角 ΚΑΘ 等于角 ΗΓΖ；且设：如同 ΕΓ 之于 ΓΗ，ΑΒ 之于 ΑΚ，又如同 ΗΓ 之于 ΓΖ，ΚΑ 之于 ΑΘ。 因此，由等比可知，如同 ΕΓ 之于 ΓΖ，ΑΒ 之于 ΑΘ。 且设平行四边形 ΘΒ 和立体 ΑΛ 被补全。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΚ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΓΗ, ΒΑΚ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΕ παραλληλόγραμμον τῷ ΚΒ παραλληλογράμμῳ.
又因为如同 ΕΓ 之于 ΓΗ，ΑΒ 之于 ΑΚ，且夹等角 ΕΓΗ, ΒΑΚ 的两边成比例，所以平行四边形 ΗΕ 相似于平行四边形 ΚΒ。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΚΘ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΖ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστι καὶ ἔτι τὸ ΖΕ τῷ ΘΒ· τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ ΓΔ στερεοῦ τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ ΑΛ στερεοῦ ὅμοιά ἐστιν.
由于同样的原因，平行四边形 ΚΘ 也相似于平行四边形 ΗΖ，且 ΖΕ 也相似于 ΘΒ；因此，立体 ΓΔ 的三个平行四边形相似于立体 ΑΛ 的三个平行四边形。
ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια, τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια· ὅλον ἄρα τὸ ΓΔ στερεὸν ὅλῳ τῷ ΑΛ στερεῷ ὅμοιόν ἐστιν.
但三个面与对面的三个面分别相等且相似，另外三个面也与对面的三个面分别相等且相似；因此，整个立体 ΓΔ 相似于整个立体 ΑΛ。
ἀπὸ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τῷ δοθέντι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ τῷ ΓΔ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον ἀναγέγραπται τὸ ΑΛ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
因此，在给定的直线 ΑΒ 上，构造了与给定的立体平行六面体 ΓΔ 相似且同样放置的立体 ΑΛ；这就是所要做的。
§11.prop.28ἐὰν στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἐπιπέδῳ τμηθῇ κατὰ τὰς διαγωνίους τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων, δίχα τμηθήσεται τὸ στερεὸν ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου.
如果一个立体平行六面体被一个通过对面的对角线的平面所切，则该立体将被该平面平分。
στερεὸν γὰρ παραλληλεπίπεδον τὸ ΑΒ ἐπιπέδῳ τῷ ΓΔΕΖ τετμήσθω κατὰ τὰς διαγωνίους τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων τὰς ΓΖ, ΔΕ· λέγω, ὅτι δίχα τμηθήσεται τὸ ΑΒ στερεὸν ὑπὸ τοῦ ΓΔΕΖ ἐπιπέδου.
因为，设立体平行六面体 ΑΒ 被通过对面的对角线 ΓΖ, ΔΕ 的平面 ΓΔΕΖ 所切；我说，立体 ΑΒ 将被平面 ΓΔΕΖ 平分。
ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΓΗΖ τρίγωνον τῷ ΓΖΒ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΑΔΕ τῷ ΔΕΘ, ἔστι δὲ καὶ τὸ μὲν ΓΑ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΒ ἴσον· ἀπεναντίον γάρ· τὸ δὲ ΗΕ τῷ ΓΘ, καὶ τὸ πρίσμα ἄρα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΓΗΖ, ΑΔΕ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΗΕ, ΑΓ, ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΓΖΒ, ΔΕΘ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΓΘ, ΒΕ, ΓΕ· ὑπὸ γὰρ ἴσων ἐπιπέδων περιέχονται τῷ τε πλήθει καὶ τῷ μεγέθει.
因为，由于三角形 ΓΗΖ 等于三角形 ΓΖΒ，且 ΑΔΕ 等于 ΔΕΘ，且平行四边形 ΓΑ 也等于 ΕΒ —— 因为它们是对面 —— 且 ΗΕ 等于 ΓΘ，所以由两个三角形 ΓΗΖ, ΑΔΕ 以及三个平行四边形 ΗΕ, ΑΓ, ΓΕ 所包围的棱柱，等于由两个三角形 ΓΖΒ, ΔΕΘ 以及三个平行四边形 ΓΘ, ΒΕ, ΓΕ 所包围的棱柱；因为它们被在数量和大小上都相等的平面所包围。
ὥστε ὅλον τὸ ΑΒ στερεὸν δίχα τέτμηται ὑπὸ τοῦ ΓΔΕΖ ἐπιπέδου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
从而整个立体 ΑΒ 被平面 ΓΔΕΖ 平分；这就是所要证明的。