§11.prop.27ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τῷ δοθέντι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἀναγράψαι.
与えられた直線から、与えられた立体平行六面体に対して相似であり、かつ同様に位置する立体平行六面体を記述すること。
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΓΔ·
与えられた直線を ΑΒ、与えられた立体平行六面体を ΓΔ とせよ。
δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ τῷ δοθέντι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ τῷ ΓΔ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἀναγράψαι.
そこで、与えられた直線 ΑΒ から、与えられた立体平行六面体 ΓΔ に相似であり、かつ同様に位置する立体平行六面体を作図することが必要である。
συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Γ στερεᾷ γωνίᾳ ἴση ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΒΑΘ, ΘΑΚ, ΚΑΒ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ὑπὸ ΒΑΘ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΓΖ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΑΚ τῇ ὑπὸ ΕΓΗ, τὴν δὲ ὑπὸ ΚΑΘ τῇ ὑπὸ ΗΓΖ·
なぜなら、直線 ΑΒ とその上の点 Α において、 Γ における立体角に等しい、角 ΒΑΘ, ΘΑΚ, ΚΑΒ に囲まれた角が作られたとせよ。 その結果、角 ΒΑΘ は角 ΕΓΖ に等しく、角 ΒΑΚ は角 ΕΓΗ に等しく、角 ΚΑΘ は角 ΗΓΖ に等しくなるように。
καὶ γεγονέτω ὡς μὲν ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΚ, ὡς δὲ ἡ ΗΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΚΑ πρὸς τὴν ΑΘ. καὶ διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΘ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΘΒ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ ΑΛ στερεόν.
そして、 ΕΓ 対 ΓΗ は ΒΑ 対 ΑΚ のごとく、また ΗΓ 対 ΓΖ は ΚΑ 対 ΑΘ のごとくなるようにせよ。 したがって等比によって、 ΕΓ 対 ΓΖ は ΒΑ 対 ΑΘ のごとくである。 そして、平行四辺形 ΘΒ と立体 ΑΛ が完成されたとせよ。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΚ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΓΗ, ΒΑΚ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΕ παραλληλόγραμμον τῷ ΚΒ παραλληλογράμμῳ.
そして、 ΕΓ 対 ΓΗ は ΒΑ 対 ΑΚ のごとくであり、等しい角 ΕΓΗ, ΒΑΚ を挟む辺が比例しているから、したがって平行四辺形 ΗΕ は平行四辺形 ΚΒ に相似である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΚΘ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΖ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστι καὶ ἔτι τὸ ΖΕ τῷ ΘΒ·
同じ理由によって、平行四辺形 ΚΘ も平行四辺形 ΗΖ に相似であり、さらに ΖΕ も ΘΒ に相似である。
τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ ΓΔ στερεοῦ τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ ΑΛ στερεοῦ ὅμοιά ἐστιν.
したがって、立体 ΓΔ の3つの平行四辺形は、立体 ΑΛ の3つの平行四辺形に相似である。
ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια, τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια·
しかし、3つの面は対向する他の3つの面にそれぞれ等しくかつ相似であり、こちらの3つの面も対向する他の3つの面にそれぞれ等しくかつ相似である。
ὅλον ἄρα τὸ ΓΔ στερεὸν ὅλῳ τῷ ΑΛ στερεῷ ὅμοιόν ἐστιν.
したがって、全体としての立体 ΓΔ は全体としての立体 ΑΛ に相似である。
ἀπὸ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τῷ δοθέντι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ τῷ ΓΔ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον ἀναγέγραπται τὸ ΑΛ·
したがって、与えられた直線 ΑΒ から、与えられた立体平行六面体 ΓΔ に相似であり、かつ同様に位置する立体平行六面体 ΑΛ が記述された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これが作図しようと試めていたことであった。
§11.prop.28ἐὰν στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἐπιπέδῳ τμηθῇ κατὰ τὰς διαγωνίους τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων, δίχα τμηθήσεται τὸ στερεὸν ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου.
もし立体平行六面体が、対向する面の対角線を通る平面によって切られるならば、その立体はその平面によって二等分されるであろう。
στερεὸν γὰρ παραλληλεπίπεδον τὸ ΑΒ ἐπιπέδῳ τῷ ΓΔΕΖ τετμήσθω κατὰ τὰς διαγωνίους τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων τὰς ΓΖ, ΔΕ·
なぜなら、立体平行六面体 ΑΒ が、対向する面の対角線 ΓΖ, ΔΕ を通る平面 ΓΔΕΖ によって切られたとせよ。
λέγω, ὅτι δίχα τμηθήσεται τὸ ΑΒ στερεὸν ὑπὸ τοῦ ΓΔΕΖ ἐπιπέδου.
私は、立体 ΑΒ が平面 ΓΔΕΖ によって二等分されると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΓΗΖ τρίγωνον τῷ ΓΖΒ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΑΔΕ τῷ ΔΕΘ, ἔστι δὲ καὶ τὸ μὲν ΓΑ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΒ ἴσον·
なぜなら、三角形 ΓΗΖ は三角形 ΓΖΒ に等しく、 ΑΔΕ は ΔΕΘ に等しい。 また、平行四辺形 ΓΑ は ΕΒ に等しい。
ἀπεναντίον γάρ·
なぜなら対向しているからである。
τὸ δὲ ΗΕ τῷ ΓΘ, καὶ τὸ πρίσμα ἄρα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΓΗΖ, ΑΔΕ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΗΕ, ΑΓ, ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΓΖΒ, ΔΕΘ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΓΘ, ΒΕ, ΓΕ·
また ΗΕ は ΓΘ に等しい。 したがって、2つの三角形 ΓΗΖ, ΑΔΕ と3つの平行四辺形 ΗΕ, ΑΓ, ΓΕ に囲まれた角柱は、2つの三角形 ΓΖΒ, ΔΕΘ と3つの平行四辺形 ΓΘ, ΒΕ, ΓΕ に囲まれた角柱に等しい。
ὑπὸ γὰρ ἴσων ἐπιπέδων περιέχονται τῷ τε πλήθει καὶ τῷ μεγέθει.
なぜなら、それらは数においても大きさにおいても等しい平面に囲まれているからである。
ὥστε ὅλον τὸ ΑΒ στερεὸν δίχα τέτμηται ὑπὸ τοῦ ΓΔΕΖ ἐπιπέδου·
ゆえに、全体としての立体 ΑΒ は平面 ΓΔΕΖ によって二等分されている。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明しようと試めていたことであった。