§11.prop.27ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τῷ δοθέντι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἀναγράψαι.
주어진 직선 위에, 주어진 입체 평행육면체와 닮았고 또한 닮은 위치에 놓인 입체 평행육면체를 작도하는 것.
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΓΔ·
주어진 직선을 ΑΒ, 주어진 입체 평행육면체를 ΓΔ라 하자.
δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ τῷ δοθέντι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ τῷ ΓΔ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἀναγράψαι.
이제 주어진 직선 ΑΒ 위에, 주어진 입체 평행육면체 ΓΔ와 닮았고 또한 닮은 위치에 놓인 입체 평행육면체를 작도해야 한다.
συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Γ στερεᾷ γωνίᾳ ἴση ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΒΑΘ, ΘΑΚ, ΚΑΒ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ὑπὸ ΒΑΘ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΓΖ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΑΚ τῇ ὑπὸ ΕΓΗ, τὴν δὲ ὑπὸ ΚΑΘ τῇ ὑπὸ ΗΓΖ·
왜냐하면, 직선 ΑΒ와 그 위의 점 Α에서, Γ에서의 입체각과 같고 각 ΒΑΘ, ΘΑΚ, ΚΑΒ에 의해 둘러싸인 각이 작도되게 하라. 그리하여 각 ΒΑΘ는 각 ΕΓΖ와 같고, 각 ΒΑΚ는 각 ΕΓΗ와 같고, 각 ΚΑΘ는 각 ΗΓΖ와 같게 하라.
καὶ γεγονέτω ὡς μὲν ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΚ, ὡς δὲ ἡ ΗΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΚΑ πρὸς τὴν ΑΘ. καὶ διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΘ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΘΒ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ ΑΛ στερεόν.
그리고 ΕΓ 대 ΓΗ의 비는 ΒΑ 대 ΑΚ의 비와 같고, ΗΓ 대 ΓΖ의 비는 ΚΑ 대 ΑΘ의 비와 같게 하라. 그러므로 같은 비의 정리(ex aequali)에 의해, ΕΓ 대 ΓΖ의 비는 ΒΑ 대 ΑΘ의 비와 같다. 그리고 평행사변형 ΘΒ와 입체 ΑΛ이 완성되게 하라.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΚ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΓΗ, ΒΑΚ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΕ παραλληλόγραμμον τῷ ΚΒ παραλληλογράμμῳ.
그리고 ΕΓ 대 ΓΗ의 비는 ΒΑ 대 ΑΚ의 비와 같고, 같은 각 ΕΓΗ, ΒΑΚ를 끼고 있는 변들이 비례하므로, 따라서 평행사변형 ΗΕ는 평행사변형 ΚΒ와 닮았다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΚΘ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΖ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστι καὶ ἔτι τὸ ΖΕ τῷ ΘΒ·
똑같은 이유로 평행사변형 ΚΘ도 평행사변형 ΗΖ와 닮았고, 나아가 ΖΕ도 ΘΒ와 닮았다.
τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ ΓΔ στερεοῦ τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ ΑΛ στερεοῦ ὅμοιά ἐστιν.
그러므로 입체 ΓΔ의 세 평행사변형은 입체 ΑΛ의 세 평행사변형과 닮았다.
ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια, τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια·
그런데 이 세 평행사변형은 마주 보는 세 평행사변형과 각각 같고 닮았으며, 저 세 평행사변형도 마주 보는 세 평행사변형과 각각 같고 닮았다.
ὅλον ἄρα τὸ ΓΔ στερεὸν ὅλῳ τῷ ΑΛ στερεῷ ὅμοιόν ἐστιν.
그러므로 전체 입체 ΓΔ는 전체 입체 ΑΛ과 닮았다.
ἀπὸ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τῷ δοθέντι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ τῷ ΓΔ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον ἀναγέγραπται τὸ ΑΛ·
그러므로 주어진 직선 ΑΒ 위에, 주어진 입체 평행육면체 ΓΔ와 닮았고 또한 닮은 위치에 놓인 입체 ΑΛ이 작도되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 작도하고자 했던 일이었다.
§11.prop.28ἐὰν στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἐπιπέδῳ τμηθῇ κατὰ τὰς διαγωνίους τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων, δίχα τμηθήσεται τὸ στερεὸν ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου.
만일 입체 평행육면체가 마주 보는 면들의 대각선을 지나는 평면에 의해 잘린다면, 그 입체는 그 평면에 의해 이등분될 것이다.
στερεὸν γὰρ παραλληλεπίπεδον τὸ ΑΒ ἐπιπέδῳ τῷ ΓΔΕΖ τετμήσθω κατὰ τὰς διαγωνίους τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων τὰς ΓΖ, ΔΕ·
왜냐하면, 입체 평행육면체 ΑΒ가 마주 보는 면들의 대각선 ΓΖ, ΔΕ를 지나는 평면 ΓΔΕΖ에 의해 잘렸다고 하자.
λέγω, ὅτι δίχα τμηθήσεται τὸ ΑΒ στερεὸν ὑπὸ τοῦ ΓΔΕΖ ἐπιπέδου.
나는 입체 ΑΒ가 평면 ΓΔΕΖ에 의해 이등분된다고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΓΗΖ τρίγωνον τῷ ΓΖΒ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΑΔΕ τῷ ΔΕΘ, ἔστι δὲ καὶ τὸ μὲν ΓΑ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΒ ἴσον·
왜냐하면, 삼각형 ΓΗΖ는 삼각형 ΓΖΒ와 같고, ΑΔΕ는 ΔΕΘ와 같기 때문이다. 또한 평행사변형 ΓΑ는 ΕΒ와 같다.
ἀπεναντίον γάρ·
왜냐하면 서로 마주 보고 있기 때문이다.
τὸ δὲ ΗΕ τῷ ΓΘ, καὶ τὸ πρίσμα ἄρα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΓΗΖ, ΑΔΕ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΗΕ, ΑΓ, ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΓΖΒ, ΔΕΘ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΓΘ, ΒΕ, ΓΕ·
그리고 ΗΕ는 ΓΘ와 같다. 그러므로 두 삼각형 ΓΗΖ, ΑΔΕ와 세 평행사변형 ΗΕ, ΑΓ, ΓΕ에 의해 둘러싸인 각기둥은, 두 삼각형 ΓΖΒ, ΔΕΘ와 세 평행사변형 ΓΘ, ΒΕ, ΓΕ에 의해 둘러싸인 각기둥과 같다.
ὑπὸ γὰρ ἴσων ἐπιπέδων περιέχονται τῷ τε πλήθει καὶ τῷ μεγέθει.
왜냐하면 그것들은 개수와 크기가 모두 같은 평면들에 의해 둘러싸여 있기 때문이다.
ὥστε ὅλον τὸ ΑΒ στερεὸν δίχα τέτμηται ὑπὸ τοῦ ΓΔΕΖ ἐπιπέδου·
따라서 전체 입체 ΑΒ는 평면 ΓΔΕΖ에 의해 이등분된다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 일이었다.