§11.prop.20ἐὰν στερεὰ γωνία ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχηται, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.
\n如果一个立体角由三个平面角所包围，其中任意两个平面角以任何方式组合都大于其余的一个。
στερεὰ γὰρ γωνία ἡ πρὸς τῷ Α ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ περιεχέσθω· λέγω, ὅτι τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ γωνιῶν δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.
\n设在点 Α 处的立体角由三个平面角 ΒΑΓ、ΓΑΔ、ΔΑΒ 所包围；我说，在角 ΒΑΓ、ΓΑΔ、ΔΑΒ 中，任意两个角以任何方式组合都大于其余的一个。
εἰ μὲν οὖν αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, φανερόν, ὅτι δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν.
\n如果角 ΒΑΓ、ΓΑΔ、ΔΑΒ 彼此相等，那么显然任意两个角都大于其余的一个。
εἰ δὲ οὔ, ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΔΑΒ γωνίᾳ ἐν τῷ διὰ τῶν ΒΑΓ ἐπιπέδῳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΕ, καὶ κείσθω τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ διὰ τοῦ Ε σημείου διαχθεῖσα ἡ ΒΕΓ τεμνέτω τὰς ΑΒ, ΑΓ εὐθείας κατὰ τὰ Β, Γ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΒ, ΔΓ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΒ, δύο δυσὶν ἴσαι·
但如果不是这样，设角 ΒΑΓ 较大，并在直线 ΑΒ 上以及在其上的点 Α 处，在通过 ΒΑΓ 的平面内，作角 ΒΑΕ 等于角 ΔΑΒ，且设 ΑΕ 等于 ΑΔ，并通过点 Ε 引出直线 ΒΕΓ，使它与直线 ΑΒ、ΑΓ 相交于点 Β、Γ，且连接 ΔΒ、ΔΓ。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΔΒ βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση.
又因为 ΔΑ 等于 ΑΕ，ΑΒ 是公共的，两边等于两边；且角 ΔΑΒ 等于角 ΒΑΕ；所以底边 ΔΒ 等于底边 ΒΕ。
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΔ, ΔΓ τῆς ΒΓ μείζονές εἰσιν, ὧν ἡ ΔΒ τῇ ΒΕ ἐδείχθη ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΓ λοιπῆς τῆς ΕΓ μείζων ἐστίν.
又因为两边 ΒΔ、ΔΓ 大于 ΒΓ，其中 ΔΒ 已被证明等于 ΒΕ，所以其余的 ΔΓ 大于其余的 ΕΓ。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ, καὶ βάσις ἡ ΔΓ βάσεως τῆς ΕΓ μείζων ἐστίν, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίας τῆς ὑπὸ ΕΑΓ μείζων ἐστίν.
又因为 ΔΑ 等于 ΑΕ，ΑΓ 是公共的，且底边 ΔΓ 大于底边 ΕΓ，所以角 ΔΑΓ 大于角 ΕΑΓ。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση· αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ, ΔΑΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ μείζονές εἰσιν.
而角 ΔΑΒ 也已被证明等于角 ΒΑΕ；所以角 ΔΑΒ、ΔΑΓ 大于角 ΒΑΓ。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ σύνδυο λαμβανόμεναι τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν.
同样地，我们将证明，其余的角两两相加也大于其余的一个。
ἐὰν ἄρα στερεὰ γωνία ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχηται, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
\n因此，如果一个立体角由三个平面角所包围，其中任意两个平面角以任何方式组合都大于其余的一个；这就是所要证明的。
§11.prop.21ἅπασα στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων τεσσάρων ὀρθῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται.
\n\n每一个立体角都由相加小于四直角的平面角所包围。
ἔστω στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Α περιεχομένη ὑπὸ ἐπιπέδων γωνιῶν τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ· λέγω, ὅτι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.
\n设在点 Α 处的立体角由平面角 ΒΑΓ、ΓΑΔ、ΔΑΒ 所包围；我说，角 ΒΑΓ、ΓΑΔ、ΔΑΒ 相加小于四直角。
εἰλήφθω γὰρ ἐφʼ ἑκάστης τῶν ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ τυχόντα σημεῖα τὰ Β, Γ, Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΓΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Β ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται τῶν ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΓΒΔ, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν·
\n因为，设在直线 ΑΒ、ΑΓ、ΑΔ 的每一条上任取点 Β、Γ、Δ，且连接 ΒΓ、ΓΔ、ΔΒ。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ τῆς ὑπὸ ΓΒΔ μείζονές εἰσιν.
又因为在点 Β 处的立体角由三个平面角 ΓΒΑ、ΑΒΔ、ΓΒΔ 所包围，其中任意两个角大于其余的一个；所以角 ΓΒΑ、ΑΒΔ 大于角 ΓΒΔ。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ μὲν ὑπὸ ΒΓΑ, ΑΓΔ τῆς ὑπὸ ΒΓΔ μείζονές εἰσιν, αἱ δὲ ὑπὸ ΓΔΑ, ΑΔΒ τῆς ὑπὸ ΓΔΒ μείζονές εἰσιν· αἱ ἓξ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ τριῶν τῶν ὑπὸ ΓΒΔ, ΒΓΔ, ΓΔΒ μείζονές εἰσιν.
由于同样的原因，角 ΒΓΑ、ΑΓΔ 也大于角 ΒΓΔ，且角 ΓΔΑ、ΑΔΒ 大于角 ΓΔΒ；所以六个角 ΓΒΑ、ΑΒΔ、ΒΓΑ、ΑΓΔ、ΓΔΑ、ΑΔΒ 大于三个角 ΓΒΔ、ΒΓΔ、ΓΔΒ。
ἀλλὰ αἱ τρεῖς αἱ ὑπὸ ΓΒΔ, ΒΔΓ, ΒΓΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· αἱ ἓξ ἄρα αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ δύο ὀρθῶν μείζονές εἰσιν.
然而，三个角 ΓΒΔ、ΒΔΓ、ΒΓΔ 等于两直角；所以六个角 ΓΒΑ、ΑΒΔ、ΒΓΑ、ΑΓΔ、ΓΔΑ、ΑΔΒ 大于两直角。
καὶ ἐπεὶ ἑκάστου τῶν ΑΒΓ, ΑΓΔ, ΑΔΒ τριγώνων αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, αἱ ἄρα τῶν τριῶν τριγώνων ἐννέα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΓΒ, ΒΑΓ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΓΑΔ, ΑΔΒ, ΔΒΑ, ΒΑΔ ἓξ ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ὧν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ, ΔΒΑ ἓξ γωνίαι δύο ὀρθῶν εἰσι μείζονες· λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ τρεῖς περιέχουσαι τὴν στερεὰν γωνίαν τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.
又因为三角形 ΑΒΓ、ΑΓΔ、ΑΔΒ 的每一个中，三个角都等于两直角，所以这三个三角形的九个角 ΓΒΑ、ΑΓΒ、ΒΑΓ、ΑΓΔ、ΓΔΑ、ΓΑΔ、ΑΔΒ、ΔΒΑ、ΒΑΔ 等于六直角，其中六个角 ΑΒΓ、ΒΓΑ、ΑΓΔ、ΓΔΑ、ΑΔΒ、ΔΒΑ 大于两直角；所以其余的包围立体角的三个角 ΒΑΓ、ΓΑΔ、ΔΑΒ 小于四直角。
ἅπασα ἄρα στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων τεσσάρων ὀρθῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
\n因此，每一个立体角都由相加小于四直角的平面角所包围；这就是所要证明的。