§11.prop.20ἐὰν στερεὰ γωνία ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχηται, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.
\nもし立体角が3つの平面角によって囲まれているならば、それらのうちの任意の2つは、どのように組み合わせても、残りの1つより大きい。
στερεὰ γὰρ γωνία ἡ πρὸς τῷ Α ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ περιεχέσθω·
\nΑにおける立体角が3つの平面角 ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ によって囲まれているとせよ。
λέγω, ὅτι τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ γωνιῶν δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.
私は、角 ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ のうちの任意の2つが、どのように組み合わせても、残りの1つより大きいと主張する。
εἰ μὲν οὖν αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, φανερόν, ὅτι δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν.
\nもし角 ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ が互いに等しいならば、任意の2つが残りの1つより大きいことは明らかである。
εἰ δὲ οὔ, ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΔΑΒ γωνίᾳ ἐν τῷ διὰ τῶν ΒΑΓ ἐπιπέδῳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΕ, καὶ κείσθω τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ διὰ τοῦ Ε σημείου διαχθεῖσα ἡ ΒΕΓ τεμνέτω τὰς ΑΒ, ΑΓ εὐθείας κατὰ τὰ Β, Γ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΒ, ΔΓ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΒ, δύο δυσὶν ἴσαι·
しかしそうでないならば、角 ΒΑΓ がより大きいとせよ。 そして、直線 ΑΒ とその上の点 Α に対して、角 ΔΑΒ に等しい角 ΒΑΕ が ΒΑΓ の平面内に作られ、ΑΔ に等しい ΑΕ が置かれ、点 Ε を通って引かれた直線 ΒΕΓ が直線 ΑΒ, ΑΓ と点 Β, Γ において交わるとせよ。 そして ΔΒ, ΔΓ が結ばれたとせよ。 そして ΔΑ は ΑΕ に等しく、ΑΒ は共通であるから、2辺は2辺に等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση·
そして角 ΔΑΒ は角 ΒΑΕ に等しい。
βάσις ἄρα ἡ ΔΒ βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση.
したがって、底辺 ΔΒ は底辺 ΒΕ に等しい。
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΔ, ΔΓ τῆς ΒΓ μείζονές εἰσιν, ὧν ἡ ΔΒ τῇ ΒΕ ἐδείχθη ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΓ λοιπῆς τῆς ΕΓ μείζων ἐστίν.
そして、2つの辺 ΒΔ, ΔΓ は ΒΓ より大きく、それらのうち ΔΒ は ΒΕ に等しいことが示されたから、したがって残りの ΔΓ は残りの ΕΓ より大きい。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ, καὶ βάσις ἡ ΔΓ βάσεως τῆς ΕΓ μείζων ἐστίν, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίας τῆς ὑπὸ ΕΑΓ μείζων ἐστίν.
そして ΔΑ は ΑΕ に等しく、ΑΓ は共通であり、底辺 ΔΓ は底辺 ΕΓ より大きいから、したがって角 ΔΑΓ は角 ΕΑΓ より大きい。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση·
ところで、角 ΔΑΒ もまた角 ΒΑΕ に等しいことが示された。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ, ΔΑΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ μείζονές εἰσιν.
したがって、角 ΔΑΒ, ΔΑΓ は角 ΒΑΓ より大きい。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ σύνδυο λαμβανόμεναι τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν.
同様にして、他のものも2つずつ取れば、残りのものより大きいことが示されるであろう。
ἐὰν ἄρα στερεὰ γωνία ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχηται, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι·
\nしたがって、もし立体角が3つの平面角によって囲まれているならば、それらのうちの任意の2つは、どのように組み合わせても、残りの1つより大きい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§11.prop.21ἅπασα στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων τεσσάρων ὀρθῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται.
\n\nすべての立体角は、4直角より小さい平面角によって囲まれている。
ἔστω στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Α περιεχομένη ὑπὸ ἐπιπέδων γωνιῶν τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ·
\nΑにおける立体角が平面角 ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ によって囲まれているとせよ。
λέγω, ὅτι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.
私は、角 ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ は4直角より小さいと主張する。
εἰλήφθω γὰρ ἐφʼ ἑκάστης τῶν ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ τυχόντα σημεῖα τὰ Β, Γ, Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΓΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Β ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται τῶν ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΓΒΔ, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν·
\nなぜなら、 ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ の各々の上に、任意の点 Β, Γ, Δ が取られ、ΒΓ, ΓΔ, ΔΒ が結ばれたとせよ。 そして、Βにおける立体角は3つの平面角 ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΓΒΔ によって囲まれているから、任意の2つは残りの1つより大きい。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ τῆς ὑπὸ ΓΒΔ μείζονές εἰσιν.
したがって、角 ΓΒΑ, ΑΒΔ は角 ΓΒΔ より大きい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ μὲν ὑπὸ ΒΓΑ, ΑΓΔ τῆς ὑπὸ ΒΓΔ μείζονές εἰσιν, αἱ δὲ ὑπὸ ΓΔΑ, ΑΔΒ τῆς ὑπὸ ΓΔΒ μείζονές εἰσιν·
同じ理由により、角 ΒΓΑ, ΑΓΔ は角 ΒΓΔ より大きく、角 ΓΔΑ, ΑΔΒ は角 ΓΔΒ より大きい。
αἱ ἓξ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ τριῶν τῶν ὑπὸ ΓΒΔ, ΒΓΔ, ΓΔΒ μείζονές εἰσιν.
したがって、6つの角 ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ は、3つの角 ΓΒΔ, ΒΓΔ, ΓΔΒ より大きい。
ἀλλὰ αἱ τρεῖς αἱ ὑπὸ ΓΒΔ, ΒΔΓ, ΒΓΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
ところが、 3つの角 ΓΒΔ, ΒΔΓ, ΒΓΔ は2直角に等しい。
αἱ ἓξ ἄρα αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ δύο ὀρθῶν μείζονές εἰσιν.
したがって、6つの角 ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ は2直角より大きい。
καὶ ἐπεὶ ἑκάστου τῶν ΑΒΓ, ΑΓΔ, ΑΔΒ τριγώνων αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, αἱ ἄρα τῶν τριῶν τριγώνων ἐννέα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΓΒ, ΒΑΓ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΓΑΔ, ΑΔΒ, ΔΒΑ, ΒΑΔ ἓξ ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ὧν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ, ΔΒΑ ἓξ γωνίαι δύο ὀρθῶν εἰσι μείζονες·
そして、それぞれの三角形 ΑΒΓ, ΑΓΔ, ΑΔΒ の3つの角は2直角に等しいから、したがって、3つの三角形の9つの角 ΓΒΑ, ΑΓΒ, ΒΑΓ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΓΑΔ, ΑΔΒ, ΔΒΑ, ΒΑΔ は6直角に等しく、そのうちの6つの角 ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ, ΔΒΑ は2直角より大きい。
λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ τρεῖς περιέχουσαι τὴν στερεὰν γωνίαν τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.
したがって、残りの、立体角を囲んでいる3つの角 ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ は4直角より小さい。
ἅπασα ἄρα στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων τεσσάρων ὀρθῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται·
\nしたがって、すべての立体角は、4直角より小さい平面角によって囲まれている。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。