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에우클레이데스 · 기하학 원론 §11.prop.20-11.prop.21

입체각을 이루는 평면각의 대소 관계와 총합의 한계

316개 구절 중 250번째 · 그리스어

요약

제11권 명제 20에서는 세 평면각으로 이루어진 입체각에서 임의의 두 각의 합이 남은 한 각보다 크다는 것을 증명한다. 명제 21에서는 임의의 입체각을 이루는 모든 평면각의 합이 사직각(360도)보다 작음을 보인다.

§11.prop.20ἐὰν στερεὰ γωνία ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχηται, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι. στερεὰ γὰρ γωνία ἡ πρὸς τῷ Α ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ περιεχέσθω·
\n만약 입체각이 세 평면각에 의하여 둘러싸여 있다면, 그것들 중 임의의 둘은 어떻게 결합하더라도 남은 하나보다 크다.\n점 Α에서의 입체각이 세 평면각 ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ에 의하여 둘러싸여 있다고 하자.
λέγω, ὅτι τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ γωνιῶν δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.
나는 각 ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ 중 임의의 둘이 어떻게 결합하더라도 남은 하나보다 크다고 주장한다.
εἰ μὲν οὖν αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, φανερόν, ὅτι δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν.
\n만약 각 ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ가 서로 같다면, 임의의 둘이 남은 하나보다 크다는 것은 명백하다.
εἰ δὲ οὔ, ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΔΑΒ γωνίᾳ ἐν τῷ διὰ τῶν ΒΑΓ ἐπιπέδῳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΕ, καὶ κείσθω τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ διὰ τοῦ Ε σημείου διαχθεῖσα ἡ ΒΕΓ τεμνέτω τὰς ΑΒ, ΑΓ εὐθείας κατὰ τὰ Β, Γ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΒ, ΔΓ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΒ, δύο δυσὶν ἴσαι·
그러나 그렇지 않다면, 각 ΒΑΓ가 더 크다고 하자. 그리고 직선 ΑΒ와 그 위의 점 Α에 대하여, ΒΑΓ를 지나는 평면 내에서 각 ΔΑΒ와 같도록 각 ΒΑΕ를 만들고, ΑΔ와 같도록 ΑΕ를 놓으며, 점 Ε를 통과하여 그어진 직선 ΒΕΓ가 직선 ΑΒ, ΑΓ와 점 Β, Γ에서 만나도록 하자. 그리고 ΔΒ, ΔΓ를 잇자. 그리고 ΔΑ는 ΑΕ와 같고, ΑΒ는 공통이므로, 두 변은 두 변과 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση·
그리고 각 ΔΑΒ는 각 ΒΑΕ와 같다.
βάσις ἄρα ἡ ΔΒ βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση.
그러므로 밑변 ΔΒ는 밑변 ΒΕ와 같다.
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΔ, ΔΓ τῆς ΒΓ μείζονές εἰσιν, ὧν ἡ ΔΒ τῇ ΒΕ ἐδείχθη ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΓ λοιπῆς τῆς ΕΓ μείζων ἐστίν.
그리고 두 변 ΒΔ, ΔΓ는 ΒΓ보다 크고, 그중 ΔΒ는 ΒΕ와 같음이 증명되었으므로, 따라서 남은 ΔΓ는 남은 ΕΓ보다 크다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ, καὶ βάσις ἡ ΔΓ βάσεως τῆς ΕΓ μείζων ἐστίν, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίας τῆς ὑπὸ ΕΑΓ μείζων ἐστίν.
그리고 ΔΑ는 ΑΕ와 같고, ΑΓ는 공통이며, 밑변 ΔΓ는 밑변 ΕΓ보다 크므로, 따라서 각 ΔΑΓ는 각 ΕΑΓ보다 크다.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση·
그런데 각 ΔΑΒ도 각 ΒΑΕ와 같음이 증명되었다.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ, ΔΑΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ μείζονές εἰσιν.
그러므로 각 ΔΑΒ, ΔΑΓ는 각 ΒΑΓ보다 크다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ σύνδυο λαμβανόμεναι τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν. ἐὰν ἄρα στερεὰ γωνία ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχηται, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι·
마찬가지로 남은 각들도 둘씩 더하면 남은 하나보다 크다는 것이 증명될 것이다.\n만약 입체각이 세 평면각에 의하여 둘러싸여 있다면, 그것들 중 임의의 둘은 어떻게 결합하더라도 남은 하나보다 크다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι. §11.prop.21ἅπασα στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων τεσσάρων ὀρθῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται. ἔστω στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Α περιεχομένη ὑπὸ ἐπιπέδων γωνιῶν τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ·
이것이 증명하고자 했던 바이다.\n\n모든 입체각은 합하여 사직각보다 작은 평면각들에 의하여 둘러싸인다.\n점 Α에서의 입체각이 평면각 ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ에 의하여 둘러싸여 있다고 하자.
λέγω, ὅτι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν. εἰλήφθω γὰρ ἐφʼ ἑκάστης τῶν ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ τυχόντα σημεῖα τὰ Β, Γ, Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΓΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Β ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται τῶν ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΓΒΔ, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν·
나는 각 ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ가 합하여 사직각보다 작다고 주장한다.\n왜냐하면 직선 ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ의 각각 위에 임의의 점 Β, Γ, Δ를 잡고, ΒΓ, ΓΔ, ΔΒ를 잇자. 그리고 점 Β에서의 입체각은 세 평면각 ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΓΒΔ에 의하여 둘러싸여 있으므로, 임의의 둘은 남은 하나보다 크다.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ τῆς ὑπὸ ΓΒΔ μείζονές εἰσιν.
그러므로 각 ΓΒΑ, ΑΒΔ는 각 ΓΒΔ보다 크다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ μὲν ὑπὸ ΒΓΑ, ΑΓΔ τῆς ὑπὸ ΒΓΔ μείζονές εἰσιν, αἱ δὲ ὑπὸ ΓΔΑ, ΑΔΒ τῆς ὑπὸ ΓΔΒ μείζονές εἰσιν·
똑같은 이유로 각 ΒΓΑ, ΑΓΔ도 각 ΒΓΔ보다 크고, 각 ΓΔΑ, ΑΔΒ는 각 ΓΔΒ보다 크다.
αἱ ἓξ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ τριῶν τῶν ὑπὸ ΓΒΔ, ΒΓΔ, ΓΔΒ μείζονές εἰσιν.
그러므로 여섯 각 ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ는 세 각 ΓΒΔ, ΒΓΔ, ΓΔΒ보다 크다.
ἀλλὰ αἱ τρεῖς αἱ ὑπὸ ΓΒΔ, ΒΔΓ, ΒΓΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
그런데 세 각 ΓΒΔ, ΒΔΓ, ΒΓΔ는 이직각과 같다.
αἱ ἓξ ἄρα αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ δύο ὀρθῶν μείζονές εἰσιν.
그러므로 여섯 각 ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ는 이직각보다 크다.
καὶ ἐπεὶ ἑκάστου τῶν ΑΒΓ, ΑΓΔ, ΑΔΒ τριγώνων αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, αἱ ἄρα τῶν τριῶν τριγώνων ἐννέα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΓΒ, ΒΑΓ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΓΑΔ, ΑΔΒ, ΔΒΑ, ΒΑΔ ἓξ ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ὧν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ, ΔΒΑ ἓξ γωνίαι δύο ὀρθῶν εἰσι μείζονες·
그리고 삼각형 ΑΒΓ, ΑΓΔ, ΑΔΒ 각각의 세 각은 이직각과 같으므로, 따라서 세 삼각형의 아홉 각 ΓΒΑ, ΑΓΒ, ΒΑΓ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΓΑΔ, ΑΔΒ, ΔΒΑ, ΒΑΔ는 육직각과 같고, 그중 여섯 각 ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ, ΔΒΑ는 이직각보다 크다.
λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ τρεῖς περιέχουσαι τὴν στερεὰν γωνίαν τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν. ἅπασα ἄρα στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων τεσσάρων ὀρθῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται·
그러므로 입체각을 둘러싸고 있는 남은 세 각 ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ는 사직각보다 작다.\n그러므로 모든 입체각은 합하여 사직각보다 작은 평면각들에 의하여 둘러싸인다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.

어휘·문법 주석

  1. 11.prop.20πάντῃ μεταλαμβανόμεναι — 현재 수동태 분사 `μεταλαμβανόμεναι`(`μεταλαμβάνω` ‘교대로 취하다, 바꾸어 취하다’)가 부사 `πάντῃ`(‘모든 방식으로’)와 결합하여, “어떻게 서로 조합하여 취하더라도”라는 의미를 나타낸다.
  2. 11.prop.20ἐν τῷ διὰ τῶν ΒΑΓ ἐπιπέδῳ — “Β, Α, Γ를 지나는 평면 내에서”라는 의미이다. `διὰ τῶν` 뒤에 ‘점’을 뜻하는 단어(아마도 `σημείων`)가 생략되어 있으며, 세 점 Β, Α, Γ가 결정하는 유일한 평면(평면 ΒΑΓ)을 가리킨다.
  3. 11.prop.20δύο δυσὶν ἴσαι — “둘[의 변]이 둘[의 변]과 같다”라는 의미이다. 기하학 증명에서 명사 ‘변(πλευρά)’이 생략된 상투적인 표현으로, 두 삼각형에서 두 변이 각각 서로 같음을 나타낸다.
  4. 11.prop.21ὑπὸ ἐλασσόνων τεσσάρων ὀρθῶν γωνιῶν — 직역하면 “네 직각보다 작은 (평면)각들에 의하여”이지만, 이는 개개의 각이 사직각(360도)보다 작다는 뜻이 아니라, 입체각을 둘러싸는 모든 평면각의 ‘총합이’ 사직각보다 작음을 의미한다.

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