§11.prop.1εὐθείας γραμμῆς μέρος μέν τι οὐκ ἔστιν ἐν τῷ ὑποκειμένῳ, ἐπιπέδῳ, μέρος δέ τι ἐν μετεωροτέρῳ.
直線の一部が下にある平面の中にあり、別の一部がより高い場所にあるということはない。
εἰ γὰρ δυνατόν, εὐθείας γραμμῆς τῆς ΑΒΓ μέρος μέν τι τὸ ΑΒ ἔστω ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μέρος δέ τι τὸ ΒΓ ἐν μετεωροτέρῳ.
もし可能なら、直線 ΑΒΓ の一部 ΑΒ が下にある平面の中にあり、一部 ΒΓ がより高い場所にあるとせよ。
ἔσται δή τις τῇ ΑΒ συνεχὴς εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ.
すると、下にある平面の中に、ΑΒ に連続して直線上に位置する、ある直線が存在するはずである。
ἔστω ἡ ΒΔ·
それを ΒΔ とせよ。
δύο ἄρα εὐθειῶν τῶν ΑΒΓ, ΑΒΔ κοινὸν τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΒ·
したがって、2つの直線 ΑΒΓ, ΑΒΔ の共通の線分は ΑΒ である。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον, ἐπειδήπερ ἐὰν κέντρῳ τῷ Β καὶ διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλον γράψωμεν, αἱ διάμετροι ἀνίσους ἀπολήψονται τοῦ κύκλου περιφερείας.
これは不可能である。 なぜなら、もし中心を Β、距離を ΑΒ として円を描けば、これらの直径は円の不均等な弧を切り取ることになるからである。
εὐθείας ἄρα γραμμῆς μέρος μέν τι οὐκ ἔστιν ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ ἐν μετεωροτέρῳ·
したがって、直線の一部が下にある平面の中にあり、他の一部がより高い場所にあるということはない。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§11.prop.2ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ, καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.
2つの直線が互いに交わるならば、それらは1つの平面内にあり、またすべての三角形は1つの平面内にある。
δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον·
なぜなら、2つの直線 ΑΒ, ΓΔ が点 Ε で互いに交わるとせよ。
λέγω, ὅτι αἱ ΑΒ, ΓΔ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ, καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.
私は、ΑΒ, ΓΔ が1つの平面内にあり、かつすべての三角形が1つの平面内にあると主張する。
εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῶν ΕΓ, ΕΒ τυχόντα σημεῖα τὰ Ζ, Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΒ, ΖΗ, καὶ διήχθωσαν αἱ ΖΘ, ΗΚ·
なぜなら、ΕΓ, ΕΒ の上に、任意の点 Ζ, Η をとれ。 そして ΓΒ, ΖΗ を結び、ΖΘ, ΗΚ を引け。
λέγω πρῶτον, ὅτι τὸ ΕΓΒ τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.
私はまず、三角形 ΕΓΒ が1つの平面内にあると主張する。
εἰ γάρ ἐστι τοῦ ΕΓΒ τριγώνου μέρος ἤτοι τὸ ΖΘΓ ἢ τὸ ΗΒΚ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ, τὸ δὲ λοιπὸν ἐν ἄλλῳ, ἔσται καὶ μιᾶς τῶν ΕΓ, ΕΒ εὐθειῶν μέρος μέν τι ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ ἐν ἄλλῳ.
なぜなら、もし三角形 ΕΓΒ の一部、すなわち ΖΘΓ または ΗΒΚ のいずれかが下にある平面内にあり、残りの部分が別の平面内にあるならば、直線 ΕΓ, ΕΒ のうちの一方についても、その一部が下にある平面の中にあり、他の一部が別の平面の中にあることになるからである。
εἰ δὲ τοῦ ΕΓΒ τριγώνου τὸ ΖΓΒΗ μέρος ᾖ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ λοιπὸν ἐν ἄλλῳ, ἔσται καὶ ἀμφοτέρων τῶν ΕΓ, ΕΒ εὐθειῶν μέρος μέν τι ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ ἐν ἄλλῳ·
また、もし三角形 ΕΓΒ の部分 ΖΓΒΗ が下にある平面の中にあり、残りの部分が別の平面の中にあるならば、両方の直線 ΕΓ, ΕΒ について、その一部が下にある平面の中にあり、他の一部が別の平面の中にあることになる。
ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη.
これは不合理であると示された。
τὸ ἄρα ΕΓΒ τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.
したがって、三角形 ΕΓΒ は1つの平面内にある。
ἐν ᾧ δέ ἐστι τὸ ΕΓΒ τρίγωνον, ἐν τούτῳ καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΓ, ΕΒ, ἐν ᾧ δὲ ἑκατέρα τῶν ΕΓ, ΕΒ, ἐν τούτῳ καὶ αἱ ΑΒ, ΓΔ. αἱ ΑΒ, ΓΔ ἄρα εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ, καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ·
そして、三角形 ΕΓΒ がある平面の中に、ΕΓ, ΕΒ のそれぞれもあり、ΕΓ, ΕΒ のそれぞれがある平面の中に、ΑΒ, ΓΔ もある。 したがって、直線 ΑΒ, ΓΔ は1つの平面の中にあり、またすべての三角形は1つの平面の中にある。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§11.prop.3ἐὰν δύο ἐπίπεδα τέμνῃ ἄλληλα, ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ εὐθεῖά ἐστιν.
2つの平面が互いに交わるならば、それらの共通の交線は直線である。
δύο γὰρ ἐπίπεδα τὰ ΑΒ, ΒΓ τεμνέτω ἄλληλα, κοινὴ δὲ αὐτῶν τομὴ ἔστω ἡ ΔΒ γραμμή·
なぜなら、2つの平面 ΑΒ, ΒΓ が互いに交わるとせよ。 そしてそれらの共通の交線を線 ΔΒ とせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΔΒ γραμμὴ εὐθεῖά ἐστιν.
私は、線 ΔΒ が直線であると主張する。
εἰ γὰρ μή, ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Β ἐν μὲν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ ΔΕΒ, ἐν δὲ τῷ ΒΓ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ ΔΖΒ. ἔσται δὴ δύο εὐθειῶν τῶν ΔΕΒ, ΔΖΒ τὰ αὐτὰ πέρατα, καὶ περιέξουσι δηλαδὴ χωρίον·
なぜなら、もしそうでなければ、Δ から Β へと、平面 ΑΒ 内に直線 ΔΕΒ を、平面 ΒΓ 内に直線 ΔΖΒ を結べ。 すると、2つの直線 ΔΕΒ, ΔΖΒ は同じ端点を持つことになり、明らかに領域を囲むことになる。
ὅπερ ἄτοπον.
これは不合理である。
οὐκ ἄρα αἱ ΔΕΒ, ΔΖΒ εὐθεῖαί εἰσιν.
したがって、ΔΕΒ, ΔΖΒ は直線ではない。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλη τις ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἔσται πλὴν τῆς ΔΒ κοινῆς τομῆς τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπιπέδων.
同様にして、ΑΒ, ΒΓ 平面の共通の交線 ΔΒ を除いて、Δ から Β へと結ばれる他のいかなる直線も存在しないことが示される。
ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα τέμνῃ ἄλληλα, ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ εὐθεῖά ἐστιν·
したがって、2つの平面が互いに交わるならば、それらの共通の交線は直線である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。