§11.prop.1εὐθείας γραμμῆς μέρος μέν τι οὐκ ἔστιν ἐν τῷ ὑποκειμένῳ, ἐπιπέδῳ, μέρος δέ τι ἐν μετεωροτέρῳ.
직선의 일부분이 아래에 있는 평면 안에 있고, 다른 일부분이 더 높은 곳에 있는 일은 있을 수 없다.
εἰ γὰρ δυνατόν, εὐθείας γραμμῆς τῆς ΑΒΓ μέρος μέν τι τὸ ΑΒ ἔστω ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μέρος δέ τι τὸ ΒΓ ἐν μετεωροτέρῳ.
만약 가능하다면, 직선 ΑΒΓ의 일부분 ΑΒ가 아래에 있는 평면 안에 있고, 일부분 ΒΓ는 더 높은 곳에 있다고 하자.
ἔσται δή τις τῇ ΑΒ συνεχὴς εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ.
그러면 아래에 있는 평면 안에 ΑΒ에 연속하여 직선 위에 놓이는 어떤 직선이 존재할 것이다.
ἔστω ἡ ΒΔ·
그것을 ΒΔ라고 하자.
δύο ἄρα εὐθειῶν τῶν ΑΒΓ, ΑΒΔ κοινὸν τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΒ·
따라서 두 직선 ΑΒΓ, ΑΒΔ의 공통 선분은 ΑΒ이다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον, ἐπειδήπερ ἐὰν κέντρῳ τῷ Β καὶ διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλον γράψωμεν, αἱ διάμετροι ἀνίσους ἀπολήψονται τοῦ κύκλου περιφερείας.
이는 불가능한데, 왜냐하면 만약 Β를 중심으로 하고 ΑΒ를 거리로 하여 원을 그린다면, 이 지름들은 원의 서로 같지 않은 호들을 잘라낼 것이기 때문이다.
εὐθείας ἄρα γραμμῆς μέρος μέν τι οὐκ ἔστιν ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ ἐν μετεωροτέρῳ·
따라서 직선의 일부분이 아래에 있는 평면 안에 있고 다른 부분이 더 높은 곳에 있는 일은 없다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§11.prop.2ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ, καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.
만약 두 직선이 서로 만난다면, 그것들은 한 평면 안에 있으며, 또한 모든 삼각형은 한 평면 안에 있다.
δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον·
왜냐하면 두 직선 ΑΒ, ΓΔ가 점 Ε에서 서로 만난다고 하자.
λέγω, ὅτι αἱ ΑΒ, ΓΔ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ, καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.
나는 ΑΒ, ΓΔ가 한 평면 안에 있고, 또한 모든 삼각형이 한 평면 안에 있다고 주장한다.
εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῶν ΕΓ, ΕΒ τυχόντα σημεῖα τὰ Ζ, Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΒ, ΖΗ, καὶ διήχθωσαν αἱ ΖΘ, ΗΚ·
왜냐하면 ΕΓ, ΕΒ 위에 임의의 점 Ζ, Η를 잡고, ΓΒ, ΖΗ를 연결하고, ΖΘ, ΗΚ를 연장하여 긋자.
λέγω πρῶτον, ὅτι τὸ ΕΓΒ τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.
나는 먼저 삼각형 ΕΓΒ가 한 평면 안에 있다고 주장한다.
εἰ γάρ ἐστι τοῦ ΕΓΒ τριγώνου μέρος ἤτοι τὸ ΖΘΓ ἢ τὸ ΗΒΚ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ, τὸ δὲ λοιπὸν ἐν ἄλλῳ, ἔσται καὶ μιᾶς τῶν ΕΓ, ΕΒ εὐθειῶν μέρος μέν τι ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ ἐν ἄλλῳ.
왜냐하면 만약 삼각형 ΕΓΒ의 일부분, 즉 ΖΘΓ 또는 ΗΒΚ 중 하나가 아래에 있는 평면 안에 있고, 남은 부분이 다른 평면 안에 있다면, 직선 ΕΓ, ΕΒ 중 하나의 일부분도 아래에 있는 평면 안에 있고 다른 일부분은 다른 평면 안에 있게 될 것이기 때문이다.
εἰ δὲ τοῦ ΕΓΒ τριγώνου τὸ ΖΓΒΗ μέρος ᾖ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ λοιπὸν ἐν ἄλλῳ, ἔσται καὶ ἀμφοτέρων τῶν ΕΓ, ΕΒ εὐθειῶν μέρος μέν τι ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ ἐν ἄλλῳ·
또한 만약 삼각형 ΕΓΒ의 부분 ΖΓΒΗ가 아래에 있는 평면 안에 있고 남은 부분이 다른 평면 안에 있다면, 두 직선 ΕΓ, ΕΒ 모두 일부분은 아래에 있는 평면 안에 있고 다른 일부분은 다른 평면 안에 있게 될 것이다.
ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη.
이는 불합리하다고 증명되었다.
τὸ ἄρα ΕΓΒ τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.
따라서 삼각형 ΕΓΒ는 한 평면 안에 있다.
ἐν ᾧ δέ ἐστι τὸ ΕΓΒ τρίγωνον, ἐν τούτῳ καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΓ, ΕΒ, ἐν ᾧ δὲ ἑκατέρα τῶν ΕΓ, ΕΒ, ἐν τούτῳ καὶ αἱ ΑΒ, ΓΔ. αἱ ΑΒ, ΓΔ ἄρα εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ, καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ·
그리고 삼각형 ΕΓΒ가 있는 평면 안에 ΕΓ, ΕΒ 각각도 있고, ΕΓ, ΕΒ 각각이 있는 평면 안에 ΑΒ, ΓΔ도 있다. 따라서 직선 ΑΒ, ΓΔ는 한 평면 안에 있으며, 모든 삼각형도 한 평면 안에 있다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§11.prop.3ἐὰν δύο ἐπίπεδα τέμνῃ ἄλληλα, ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ εὐθεῖά ἐστιν.
만약 두 평면이 서로 만난다면, 그것들의 공통 교선은 직선이다.
δύο γὰρ ἐπίπεδα τὰ ΑΒ, ΒΓ τεμνέτω ἄλληλα, κοινὴ δὲ αὐτῶν τομὴ ἔστω ἡ ΔΒ γραμμή·
왜냐하면 두 평면 ΑΒ, ΒΓ가 서로 만난다고 하고, 그것들의 공통 교선을 선 ΔΒ라고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΔΒ γραμμὴ εὐθεῖά ἐστιν.
나는 선 ΔΒ가 직선이라고 주장한다.
εἰ γὰρ μή, ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Β ἐν μὲν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ ΔΕΒ, ἐν δὲ τῷ ΒΓ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ ΔΖΒ. ἔσται δὴ δύο εὐθειῶν τῶν ΔΕΒ, ΔΖΒ τὰ αὐτὰ πέρατα, καὶ περιέξουσι δηλαδὴ χωρίον·
왜냐하면 만약 그렇지 않다면, Δ로부터 Β로 평면 ΑΒ 안에 직선 ΔΕΒ를, 평면 ΒΓ 안에 직선 ΔΖΒ를 연결하자. 그러면 두 직선 ΔΕΒ, ΔΖΒ는 같은 끝점을 가질 것이며, 분명히 영역을 둘러쌀 것이다.
ὅπερ ἄτοπον.
이는 불합리하다.
οὐκ ἄρα αἱ ΔΕΒ, ΔΖΒ εὐθεῖαί εἰσιν.
따라서 ΔΕΒ, ΔΖΒ는 직선이 아니다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλη τις ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἔσται πλὴν τῆς ΔΒ κοινῆς τομῆς τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπιπέδων.
마찬가지로 ΑΒ, ΒΓ 평면의 공통 교선 ΔΒ를 제외하고는, Δ로부터 Β로 연결되는 다른 어떤 직선도 존재하지 않을 것임을 증명할 수 있다.
ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα τέμνῃ ἄλληλα, ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ εὐθεῖά ἐστιν·
따라서 만약 두 평면이 서로 만난다면, 그것들의 공통 교선은 직선이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.