§10.prop3.114ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ἀποτομῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά τέ ἐστι τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητή ἐστιν.
如果一个面积由一条余线与一条二项线所包围，且二项线的两项与余线的两项可共测并且比例相同，那么能等幂该面积的直线是有理的。
περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ὑπὸ ἀποτομῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τῆς ΓΔ, ἧς μεῖζον ὄνομα ἔστω τὸ ΓΕ, καὶ ἔστω τὰ ὀνόματα τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τὰ ΓΕ, ΕΔ σύμμετρά τε τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι τοῖς ΑΖ, ΖΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔστω ἡ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ δυναμένη ἡ Η· λέγω, ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ Η.
Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ Θ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Θ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΛ·
设由AB、ΓΔ包围的面积是由余线AB与二项线ΓΔ所包围，其中较大的一项设为ΓE，并且二项线的两项ΓE、ED与余线的两项 AZ、ZB可共测且比例相同，又设能等幂由AB、ΓΔ包围的面积的直线为H；我说H是有理的。
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΛ, ἧς τὰ ὀνόματα ἔστω τὰ ΚΜ, ΜΛ σύμμετρα τοῖς τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι τοῖς ΓΕ, ΕΔ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ.
因为设置有理线Θ，并贴至ΓΔ，使其等于Θ上的正方形且产生宽度为KΛ；因此KΛ是一条余线，设其两项为KM、MΛ，它们与二项线的两项ΓE、ED可共测且比例相同。
ἀλλὰ καὶ αἱ ΓΕ, ΕΔ σύμμετροί τέ εἰσι ταῖς ΑΖ, ΖΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΚΜ πρὸς ΜΛ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΚΜ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΛΜ·
但ΓE、ED亦与AZ、ZB可共测且比例相同；因而，AZ比ZB等于KM比MΛ。
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΚΛ ἐστιν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΚΜ. σύμμετρος δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΚΜ·
交互地，AZ比KM等于BZ比ΛM；因而余下的AB比余下的KΛ亦等于AZ比KM。
σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΚΛ. καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΚΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ·
而AZ与KM可共测；因此AB与KΛ亦可共测。 并且由于AB 比KΛ等于由ΓΔ、AB包围的矩形比由ΓΔ、KΛ包围的矩形；因此由ΓΔ、AB包围的矩形亦与由ΓΔ、KΛ包围的矩形可共测。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ τῷ ἀπὸ τῆς Θ·
但由ΓΔ、KΛ包围的矩形等于Θ上的正方形；因此由ΓΔ、AB包围的矩形与Θ上的正方形可共测。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς Θ. τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η·
而由ΓΔ、AB包围的矩形等于H上的正方形；因此H上的正方形与Θ上的正方形可共测。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η τῷ ἀπὸ τῆς Θ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Θ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Η. καὶ δύναται τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ.
ἐὰν ἄρα χωρίον περιέχηται ὑπὸ ἀποτομῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητή ἐστιν.
而Θ上的正方形是有理的；因此H上的正方形亦是有理的；因此H是有理的。 且它能等幂由ΓΔ、AB包围的矩形。 如果因此一个面积由一条余线与一条二项线所包围，且其两项与余线的两项可共测并且比例相同，那么能等幂该面积的直线是有理的。
Πόρισμα
καὶ γέγονεν ἡμῖν καὶ διὰ τούτου φανερόν, ὅτι δυνατόν ἐστι ῥητὸν χωρίον ὑπὸ ἀλόγων εὐθειῶν περιέχεσθαι.
系：并且通过这一点，对我们来说亦变得显然：一个有理面积有可能由无理线所包围。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。
§10.prop3.115ἀπὸ μέσης ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή.
从中项线出发可以产生无限多条无理线，且其中任何一条都不同于先前定义过的任何无理线。
ἔστω μέση ἡ Α· λέγω, ὅτι ἀπὸ τῆς Α ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή.
设A为中项线；我说从A出发可以产生无限多条无理线，且其中任何一条都不同于先前定义过的任何无理线。
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Β, καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Α ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Γ· ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ Γ· τὸ γὰρ ὑπὸ ἀλόγου καὶ ῥητῆς ἄλογόν ἐστιν.
因为设置有理线B，并设Γ上的正方形等于由B、A包围的矩形；因此Γ是无理的；因为由无理线与有理线包围的矩形是无理的。
καὶ οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή· τὸ γὰρ ἀπʼ οὐδεμιᾶς τῶν πρότερον παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ μέσην.
且它不同于先前定义过的任何无理线；因为先前任何一条线上的正方形，贴至有理线时，皆不产生中项线为宽度。
πάλιν δὴ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Δ· ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Δ. ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ Δ· καὶ οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή·
再次，设Δ上的正方形等于由B、Γ包围的矩形；因此Δ上的正方形是无理的。 因此Δ是无理的；且它不同于先前定义过的任何无理线；因为先前任何一条线，贴至有理线时，皆不产生Γ为宽度。
τὸ γὰρ ἀπʼ οὐδεμιᾶς τῶν πρότερον παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν Γ. ὁμοίως δὴ τῆς τοιαύτης τάξεως ἐπʼ ἄπειρον προβαινούσης φανερόν, ὅτι ἀπὸ τῆς μέσης ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι].
同样地，随着这种秩序进行到无限，显然从中项线出发可以产生无限多条无理线，且其中任何一条都不同于先前定义过的任何无理线；这就是所要证明的。