§10.prop3.114ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ἀποτομῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά τέ ἐστι τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητή ἐστιν.
만약 어떤 영역이 아포토메와 이항명선에 의해 둘러싸여 있고, 이 이항명선의 각 명이 아포토메의 각 명과 통약 가능하고 비율이 같다면, 그 영역을 제곱되게 하는 직선은 유리 직선이다.
περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ὑπὸ ἀποτομῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τῆς ΓΔ, ἧς μεῖζον ὄνομα ἔστω τὸ ΓΕ, καὶ ἔστω τὰ ὀνόματα τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τὰ ΓΕ, ΕΔ σύμμετρά τε τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι τοῖς ΑΖ, ΖΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔστω ἡ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ δυναμένη ἡ Η·
왜냐하면 AB, ΓΔ로 둘러싸인 영역이 아포토메 AB와 이항명선 ΓΔ에 의해 둘러싸여 있다고 하자. 그 중 큰 명을 ΓE라 하고, 이항명선의 각 명 ΓE, ED가 아포토메의 각 명 AZ, ZB와 통약 가능하고 비율이 같다고 하자. 그리고 AB, ΓΔ로 둘러싸인 영역을 제곱되게 하는 직선을 H라 하자.
λέγω, ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ Η.
Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ Θ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Θ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΛ·
나는 H가 유리 직선이라고 주장한다. 왜냐하면 유리 직선 Θ가 주어져 있다고 하고, Θ 위의 정사각형과 같은 것을 ΓΔ에 적용하여 폭으로서 KΛ을 만들도록 하자.
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΛ, ἧς τὰ ὀνόματα ἔστω τὰ ΚΜ, ΜΛ σύμμετρα τοῖς τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι τοῖς ΓΕ, ΕΔ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ.
그러므로 KΛ은 아포토메이고, 그것의 각 명을 KM, MΛ이라 하면 이들은 이항명선의 각 명 ΓE, ED와 통약 가능하고 비율이 같다.
ἀλλὰ καὶ αἱ ΓΕ, ΕΔ σύμμετροί τέ εἰσι ταῖς ΑΖ, ΖΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ·
그런데 ΓE, ED 역시 AZ, ZB와 통약 가능하고 비율이 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΚΜ πρὸς ΜΛ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΚΜ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΛΜ·
그러므로 AZ 대 ZB는 KM 대 MΛ이다. 그러므로 교대비에 의해 AZ 대 KM은 BZ 대 ΛM이다.
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΚΛ ἐστιν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΚΜ. σύμμετρος δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΚΜ·
그러므로 남은 부분인 AB 대 남은 부분인 KΛ 역시 AZ 대 KM이다. 그런데 AZ는 KM과 통약 가능하다.
σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΚΛ. καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΚΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ·
그러므로 AB 역시 KΛ과 통약 가능하다. 그리고 AB 대 KΛ은 ΓΔ, AB로 둘러싸인 직사각형 대 ΓΔ, KΛ로 둘러싸인 직사각형과 같다.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ τῷ ἀπὸ τῆς Θ·
그러므로 ΓΔ, AB로 둘러싸인 직사각형 역시 ΓΔ, KΛ로 둘러싸인 직사각형과 통약 가능하다. 그런데 ΓΔ, KΛ로 둘러싸인 직사각형은 Θ 위의 정사각형과 같다.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς Θ. τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η·
그러므로 ΓΔ, AB로 둘러싸인 직사각형은 Θ 위의 정사각형과 통약 가능하다. 그리고 ΓΔ, AB로 둘러싸인 직사각형은 H 위의 정사각형과 같다.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η τῷ ἀπὸ τῆς Θ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Θ·
그러므로 H 위의 정사각형은 Θ 위의 정사각형과 통약 가능하다. 그런데 Θ 위의 정사각형은 유리 영역이다.
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η·
그러므로 H 위의 정사각형 역시 유리 영역이다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Η. καὶ δύναται τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ.
ἐὰν ἄρα χωρίον περιέχηται ὑπὸ ἀποτομῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητή ἐστιν.
그러므로 H는 유리 직선이다. 그리고 그것은 ΓΔ, AB로 둘러싸인 영역을 제곱되게 한다. 그러므로 만약 어떤 영역이 아포토메와 이항명선에 의해 둘러싸여 있고, 이 이항명선의 각 명이 아포토메의 각 명과 통약 가능하고 비율이 같다면, 그 영역을 제곱되게 하는 직선은 유리 직선이다.
Πόρισμα
καὶ γέγονεν ἡμῖν καὶ διὰ τούτου φανερόν, ὅτι δυνατόν ἐστι ῥητὸν χωρίον ὑπὸ ἀλόγων εὐθειῶν περιέχεσθαι.
따름정리: 그리고 이것을 통해 무리 직선들에 의해 유리 영역이 둘러싸이는 것이 가능하다는 사실이 우리에게 분명해졌다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보이고자 하는 일이었다.
§10.prop3.115ἀπὸ μέσης ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή.
미디얼(중항선)로부터 무한히 많은 무리 직선들이 생겨나며, 그 중 어느 것도 이전에 정의된 것들 중 어느 것과도 같지 않다.
ἔστω μέση ἡ Α·
A를 미디얼이라 하자.
λέγω, ὅτι ἀπὸ τῆς Α ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή.
나는 A로부터 무한히 많은 무리 직선들이 생겨나며, 그 중 어느 것도 이전에 정의된 것들 중 어느 것과도 같지 않다고 주장한다.
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Β, καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Α ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Γ·
유리 직선 B가 주어져 있다고 하고, B와 A로 둘러싸인 직사각형과 같은 것을 Γ 위의 정사각형이라 하자.
ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ Γ·
그러므로 Γ는 무리 직선이다.
τὸ γὰρ ὑπὸ ἀλόγου καὶ ῥητῆς ἄλογόν ἐστιν.
왜냐하면 무리 직선과 유리 직선으로 둘러싸인 직사각형은 무리 영역이기 때문이다.
καὶ οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή·
그리고 그것은 이전에 정의된 것들 중 어느 것과도 같지 않다.
τὸ γὰρ ἀπʼ οὐδεμιᾶς τῶν πρότερον παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ μέσην.
왜냐하면 이전에 정의된 것들 중 어느 것 위의 정사각형도 유리 직선에 적용되었을 때 폭으로서 미디얼을 만들지 않기 때문이다.
πάλιν δὴ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Δ·
다시, B와 Γ로 둘러싸인 직사각형과 같은 것을 Δ 위의 정사각형이라 하자.
ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Δ. ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ Δ·
그러므로 Δ 위의 정사각형은 무리 영역이다. 그러므로 Δ는 무리 직선이다.
καὶ οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή·
그리고 그것은 이전에 정의된 것들 중 어느 것과도 같지 않다.
τὸ γὰρ ἀπʼ οὐδεμιᾶς τῶν πρότερον παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν Γ. ὁμοίως δὴ τῆς τοιαύτης τάξεως ἐπʼ ἄπειρον προβαινούσης φανερόν, ὅτι ἀπὸ τῆς μέσης ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή·
왜냐하면 이전에 정의된 것들 중 어느 것 위의 정사각형도 유리 직선에 적용되었을 때 폭으로서 Γ를 만들지 않기 때문이다. 마찬가지로, 이러한 질서가 무한히 진행될 때, 미디얼로부터 무한히 많은 무리 직선들이 생겨나며, 그 중 어느 것도 이전에 정의된 것들 중 어느 것과도 같지 않음이 분명하다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι].
이것이 보이고자 하는 일이었다.