§10.prop3.114ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ἀποτομῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά τέ ἐστι τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητή ἐστιν.
もし、領域がアポトメと、名がアポトメの名と通約可能で同じ比にある二項（直線）によって囲まれるならば、その領域を平方にできる（直線）は有理である。
περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ὑπὸ ἀποτομῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τῆς ΓΔ, ἧς μεῖζον ὄνομα ἔστω τὸ ΓΕ, καὶ ἔστω τὰ ὀνόματα τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τὰ ΓΕ, ΕΔ σύμμετρά τε τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι τοῖς ΑΖ, ΖΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔστω ἡ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ δυναμένη ἡ Η·
なぜなら、AB, ΓΔによって囲まれる領域が、アポトメABと二項直線ΓΔによって囲まれているとせよ。 その（二項直線の）大きい方の名をΓEとし、二項直線の名ΓE, EΔは、アポトメの名 AZ, ZBと通約可能で同じ比にあるとし、AB, ΓΔに囲まれる領域を平方にできる直線をHとせよ。
λέγω, ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ Η.
Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ Θ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Θ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΛ·
私は、Hが有理であると主張する。 なぜなら、有理直線Θが置かれているとし、Θ 上の正方形に等しいものがΓΔに沿って適用されて、幅としてKΛを作るとせよ。
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΛ, ἧς τὰ ὀνόματα ἔστω τὰ ΚΜ, ΜΛ σύμμετρα τοῖς τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι τοῖς ΓΕ, ΕΔ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ.
したがって、KΛはアポトメであり、その名をKM, MΛとすると、これらは二項直線の名ΓE, EΔと通約可能で、同じ比にある。
ἀλλὰ καὶ αἱ ΓΕ, ΕΔ σύμμετροί τέ εἰσι ταῖς ΑΖ, ΖΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ·
しかし、ΓE, EΔもAZ, ZBと通約可能で、同じ比にある。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΚΜ πρὸς ΜΛ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΚΜ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΛΜ·
したがって、AZ対ZBは、KM対MΛである。 したがって交互比により、AZ対KMは、BZ対ΛMである。
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΚΛ ἐστιν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΚΜ. σύμμετρος δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΚΜ·
したがって残りのAB対残りのKΛも、AZ対KMである。 ところで、AZはKMと通約可能である。
σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΚΛ. καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΚΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ·
したがって、ABもKΛと通約可能である。 そして、AB対 KΛは、ΓΔとABに囲まれる領域対ΓΔとKΛに囲まれる領域である。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ τῷ ἀπὸ τῆς Θ·
したがって、ΓΔ, ABに囲まれる領域も、ΓΔ, KΛに囲まれる領域と通約可能である。 ところで、ΓΔ, KΛに囲まれる領域はΘ上の正方形に等しい。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς Θ. τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η·
したがって、ΓΔ, ABに囲まれる領域は、Θ上の正方形と通約可能である。 また、ΓΔ, ABに囲まれる領域には、H上の正方形が等しい。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η τῷ ἀπὸ τῆς Θ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Θ·
したがって、H上の正方形はΘ上の正方形と通約可能である。 ところで、Θ上の正方形は有理である。
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η·
したがって、H上の正方形もユーリ（有理）である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Η. καὶ δύναται τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ.
ἐὰν ἄρα χωρίον περιέχηται ὑπὸ ἀποτομῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητή ἐστιν.
したがって、Hは有理直線である。 そして、それはΓΔ, ABによって囲まれる領域を平方にできる。 したがって、もし、領域がアポトメと、名がアポトメの名と通約可能で同じ比にある二項（直線）によって囲まれるならば、その領域を平方にできる（直線）は有理である。
Πόρισμα
καὶ γέγονεν ἡμῖν καὶ διὰ τούτου φανερόν, ὅτι δυνατόν ἐστι ῥητὸν χωρίον ὑπὸ ἀλόγων εὐθειῶν περιέχεσθαι.
系：そして、これによって我々にとって、無理直線によって有理な領域が囲まれ得ることが明らかになった。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop3.115ἀπὸ μέσης ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή.
中項（直線）から、無限に多くの無理（直線）が作られ、それらのどれ一つとして、それ以前のもののいずれとも同一ではない。
ἔστω μέση ἡ Α·
Aを中項（直線）とせよ。
λέγω, ὅτι ἀπὸ τῆς Α ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή.
私は、Aから無限に多くの無理（直線）が作られ、それらのどれ一つとして、それ以前のもののいずれとも同一ではないと主張する。
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Β, καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Α ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Γ·
有理直線Bが置かれているとし、B, Aに囲まれる領域に等しいものをΓ上の正方形とせよ。
ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ Γ·
したがって、Γは無理（直線）である。
τὸ γὰρ ὑπὸ ἀλόγου καὶ ῥητῆς ἄλογόν ἐστιν.
なぜなら、無理（直線）と有理（直線）に囲まれるものは無理だからである。
καὶ οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή·
そして、（Γは）それ以前のもののいずれとも同一ではない。
τὸ γὰρ ἀπʼ οὐδεμιᾶς τῶν πρότερον παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ μέσην.
なぜなら、それ以前のもののいずれの（上の正方形）からも、有理直線に沿って適用されたとき、幅として中項を作らないからである。
πάλιν δὴ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Δ·
再び、B, Γに囲まれる領域に等しいものをΔ上の正方形とせよ。
ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Δ. ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ Δ·
したがって、Δ上の正方形は無理である。 したがって、Δは無理（直線）である。
καὶ οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή·
そして、それ以前のもののいずれとも同一ではない。
τὸ γὰρ ἀπʼ οὐδεμιᾶς τῶν πρότερον παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν Γ. ὁμοίως δὴ τῆς τοιαύτης τάξεως ἐπʼ ἄπειρον προβαινούσης φανερόν, ὅτι ἀπὸ τῆς μέσης ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή·
なぜなら、それ以前のもののいずれの（上の正方形）からも、有理直線に沿って適用されたとき、幅としてΓを作らないからである。 同様に、このような順序が無限に進むとき、中項（直線）から無限に多くの無理（直線）が作られ、それらのどれ一つとして、それ以前のもののいずれとも同一ではないことが明らかである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι].
これが示すべきことであった。