从中项面积中减去其他面积的残余

若从中项面积中减去有理面积，则产生另外两种无理线，或者是第一中线余线，或者是与有理面积共同产生中项整体的线。

ἀπὸ γὰρ μέσου τοῦ ΒΓ ῥητὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΒΔ. λέγω, ὅτι ἡ τὸ λοιπὸν τὸ ΕΓ δυναμένη μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἢ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. 因为，设从中项面积BC中减去有理面积BD；我说，能产生剩下面积EG的线是两种无理线之一，或者是第一中线余线，或者是与有理面积共同产生中项整体的线。

Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ παραβεβλήσθω ὁμοίως τὰ χωρία. ἔστι δὴ ἀκολούθως ῥητὴ μὲν ἡ ΖΘ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει, ῥητὴ δὲ ἡ ΚΖ καὶ σύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει· 因为，设给出有理线ZH，并以同样的方式贴上这些面积。

于是，结果是，ZΘ是有理的且在长度上与ZH不可共测，而KZ是有理的且在长度上与ZH可共测； αἱ ΖΘ, ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ, προσαρμόζουσα δὲ ταύτῃ ἡ ΖΚ. ἤτοι δὴ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου. 因此ZΘ、ZK是仅在平方上可共测的有理线；因此KΘ是余线，而ZK是它的伴线。 那么，ΘZ在平方上，比ZK大了一个与自身可共测的线上的正方形，或者大了一个与自身不可共测的线上的正方形。

εἰ μὲν οὖν ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΚ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ δευτέρα ἐστὶν ἡ ΚΘ. ῥητὴ δὲ ἡ ΖΗ· ὥστε ἡ τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἐστίν. 如果ΘZ在平方上，比ZK大了一个与自身可共测的线上的正方形，且伴线ZK在长度上与所给的有理线ZH可共测，则KΘ是第二余线。

且ZH是有理的；因此，能产生 LΘ（即EG）的线是第一中线余线。

εἰ δὲ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου, καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΚ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ πέμπτη ἐστὶν ἡ ΚΘ· ὥστε ἡ τὸ ΕΓ δυναμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 但如果ΘZ在平方上，比ZK大了一个与自身不可共测的线上的正方形，且伴线ZK在长度上与所给的有理线ZH可共测，则KΘ是第五余线；因此，能产生EG的线是与有理面积共同产生中项整体的线；这就是所要证明的。

若从中项面积中减去一个与整体不可共测的中项面积，则产生其余两种无理线，或者是第二中线余线，或者是与中项面积共同产生中项整体的线。

ἀφῃρήσθω γὰρ ὡς ἐπὶ τῶν προκειμένων καταγραφῶν ἀπὸ μέσου τοῦ ΒΓ μέσον τὸ ΒΔ ἀσύμμετρον τῷ ὅλῳ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΕΓ δυναμένη μία ἐστὶ δύο ἀλόγων ἤτοι μέσης ἀποτομὴ δευτέρα ἢ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. 因为，正如在前述各图中，设从中项面积BC中减去一个与整体不可共测的中项面积BD；我说，能产生EG的线是两种无理线之一，或者是第二中线余线，或者是与中项面积共同产生中项整体的线。

ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΒΓ, ΒΔ, καὶ ἀσύμμετρον τὸ ΒΓ τῷ ΒΔ, ἔσται ἀκολούθως ῥητὴ ἑκατέρα τῶν ΖΘ, ΖΚ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΒΓ τῷ ΒΔ, τουτέστι τὸ ΗΘ τῷ ΗΚ, ἀσύμμετρος καὶ ἡ ΘΖ τῇ ΖΚ· αἱ ΖΘ, ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ. 因为，由于BC、BD中的每一个都是中项的，且 BC与BD不可共测，于是结果是，ZΘ、ZK中的每一个都是有理的，且在长度上与ZH不可共测。

并且由于BC与BD不可共测，即HΘ与HK不可共测，所以ΘZ也与ZK不可共测；因此ZΘ、ZK是仅在平方上可共测的有理线；因此KΘ是余线。

εἰ μὲν δὴ ἡ ΖΘ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ οὐθετέρα τῶν ΖΘ, ΖΚ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ τρίτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. ῥητὴ δὲ ἡ ΚΛ, τὸ δʼ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τρίτης περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν, καλεῖται δὲ μέσης ἀποτομὴ δευτέρα· ὥστε ἡ τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα. 如果ZΘ在平方上，比ZK大了一个与自身可共测的线上的正方形，且ZΘ、ZK中没有一个在长度上与所给的有理线ZH可共测，则KΘ是第三余线。

且KL是有理的；而由有理线与第三余线所包围的矩形是无理的，并且能产生它的线是无理线，且被称为第二中线余线；因此，能产生LΘ（即EG）的线是第二中线余线。

εἰ δὲ ἡ ΖΘ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ οὐθετέρα τῶν ΘΖ, ΖΚ σύμμετρός ἐστι τῇ ΖΗ μήκει, ἀποτομὴ ἕκτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. τὸ δʼ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς ἕκτης ἡ δυναμένη ἐστὶ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. ἡ τὸ ΛΘ ἄρα, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 但如果ZΘ在平方上，比ZK大了一个与自身不可共测的线上的正方形，且ΘZ、ZK中没有一个在长度上与ZH可共测，则KΘ是第六余线。 而能产生由有理线与第六余线所包围的面积的线是与中项面积共同产生中项整体的线。

因此，能产生LΘ（即EG）的线是与中项面积共同产生中项整体的线；这就是所要证明的。