§10.prop2.69ἡ τῇ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένῃ σύμμετρος ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν.
与能产生有理和中面区域的线共测的线，其自身也是能产生有理和中面区域的线。
ἔστω ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ· δεικτέον, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν.
设AB为能产生有理和中面区域的线，且设CD与AB共测；必须证明，CD也是能产生有理和中面区域的线。
διῃρήσθω ἡ ΑΒ εἰς τὰς εὐθείας κατὰ τὸ Ε· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν·
设AB在E处被分成它的组成线；因此AE、EB在平方上不共测，它们使得它们之上的正方形之和为中面，而由它们所围成的矩形为有理。
καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω τοῖς πρότερον.
且设作图与先前相同。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, καὶ σύμμετρον τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ ΓΖ, ΖΔ· ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων ἐστὶ μέσον, τὸ δʼ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ ῥητόν.
同样地，我们将证明CZ、ZD在平方上也不共测，且AE、EB之上的正方形之和与CZ、ZD之上的正方形之和共测，由AE、EB所围成的矩形也与由 CZ、ZD所围成的矩形共测；所以CZ、ZD之上的正方形之和也是中面，而由CZ、ZD所围成的矩形是有理的。
ῥητὸν ἄρα καὶ μέσον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
从而CD是能产生有理和中面区域的线；即所要求证的。
§10.prop2.70ἡ τῇ δύο μέσα δυναμένῃ σύμμετρος δύο μέσα δυναμένη ἐστίν.
与能产生两个中面区域的线共测的线，其自身也是能产生两个中面区域的线。
ἔστω δύο μέσα δυναμένη ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἡ ΓΔ· δεικτέον, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν.
设AB为能产生两个中面区域的线，且设CD与AB共测；必须证明，CD也是能产生两个中面区域的线。
ʼἐπεὶ γὰρ δύο μέσα δυναμένη ἐστὶν ἡ ΑΒ, διῃρήσθω εἰς τὰς εὐθείας κατὰ τὸ Ε· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ·
因为AB是能产生两个中面区域的线，设它在E处被分成它的组成线；因此AE、EB在平方上不共测，它们使得它们之上的正方形之和为中面，且由它们所围成的矩形为中面，并且AE、EB之上的正方形之和与由AE、EB所围成的矩形不共测。
καὶ κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον.
且设作图与先前相同。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι καὶ σύμμετρον τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων μέσον ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ.
ἡ ἄρα ΓΔ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν·
同样地，我们将证明CZ、ZD在平方上也不共测，且AE、EB之上的正方形之和与 CZ、ZD之上的正方形之和共测，由AE、EB所围成的矩形与由CZ、ZD所围成的矩形共测；所以CZ、ZD之上的正方形之和是中面，且由CZ、ZD所围成的矩形是中面，并且CZ、ZD之上的正方形之和与由CZ、ZD所围成的矩形不共测。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
从而CD是能产生两个中面区域的线；即所要求证的。