§10.prop2.58ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.
若一面积由一有理线与第五二项线所围成，则该面积的方根是一条无理线，即能产生有理与中项面积的线。
χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΕ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.
因为面积AC由有理线AB 及第五二项线AD所围成，设AD在E处被分成两个项，其中较长的一项为AE；我说，面积AC的方根是一条无理线，即能产生有理与中项面积的线。
Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον δεδειγμένοις·
因为设作与前面相同的图形。
φανερὸν δή, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ. δεικτέον δή, ὅτι ἡ ΜΞ ἐστιν ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.
于是显然，面积AC的方根是MX。 现在必须证明，MX是能产生有理与中项面积的线。
ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΘΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΞ· αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι.
因为AH与HE不共测，所以AT也与TE不共测，即MN之上的正方形与NX之上的正方形不共测；因此，MN、NX在平方上不共测。
καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη, καί ἔλασσον αὐτῆς τμῆμα τὸ ΕΔ, σύμμετρος ἄρα ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ μήκει.
又因为AD是第五二项线，且其较短的线段是ED，所以ED在长度上与AB共测。
ἀλλὰ ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ ἐστιν ἀσύμμετρος· καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῇ ΑΕ ἐστιν ἀσύμμετρος μήκει.
但是AE与ED不共测；所以AB在长度上与AE也不共测。
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ, τουτέστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει, τουτέστι τῇ ΕΚ, ἀλλὰ ἡ ΔΕ τῇ ΕΖ σύμμετρός ἐστιν, καὶ ἡ ΕΖ ἄρα τῇ ΕΚ σύμμετρός ἐστιν.
因此AK是中面积，即MN、NX之上的正方形之和是中面积。 又因为DE在长度上与AB共测，即与EK共测，而DE与EZ共测，所以EZ在长度上与EK也共测。
καὶ ῥητὴ ἡ ΕΚ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΜΝΞ·
且EK是有理的；因此EL也是有理的，即MP是有理的，即由MN、NX所围成的矩形是有理的。
αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροί εἰσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν.
因此，MN、NX在平方上不共测，使得它们之上的正方形之和为中面积，而由它们所围成的矩形为有理的。
ἡ ΜΞ ἄρα ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστὶ καὶ δύναται τὸ ΑΓ χωρίον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，MX是能产生有理与中项面积的线，且它是面积 AC的方根；即所要求证的。
§10.prop2.59ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη δύο μέσα δυναμένη.
若一面积由一有理线与第六二项线所围成，则该面积的方根是一条无理线，即能产生两个中项面积的线。
χωρίον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΕ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ δυναμένη ἡ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν.
因为面积ABCD由有理线AB 及第六二项线AD所围成，设AD在E处被分成两个项，其中较长的一项为AE；我说，面积AC的方根是能产生两个中项面积的线。
Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς προδεδειγμένοις.
设作与前面相同的图形。
φανερὸν δή, ὅτι τὸ ΑΓ δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ, καὶ ὅτι ἀσύμμετρός ἐστι ἡ ΜΝ τῇ ΝΞ δυνάμει.
于是显然，面积AC的方根是MX，且MN与NX在平方上不共测。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΕΑ τῇ ΑΒ μήκει, αἱ ΕΑ, ΑΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
又因为EA在长度上与AB不共测，所以EA、AB是仅在平方上共测的有理线。
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ, τουτέστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ μήκει, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΕ τῇ ΕΚ·
因此AK是中面积，即MN、 NX之上的正方形之和是中面积。 再次，因为ED在长度上与AB不共测，所以ZE在长度上与EK也不共测。
αἱ ΖΕ, ΕΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
因此ZE、EK是仅在平方上共测的有理线。
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρος ἡ ΑΕ τῇ ΕΖ, καὶ τὸ ΑΚ τῷ ΕΛ ἀσύμμετρόν ἐστιν.
因此EL，即MP，是中面积，即由MN、NX所围成的矩形是中面积。 又因为AE与EZ不共测，所以AK与EL也不共测。
ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΚ ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ, τὸ δὲ ΕΛ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ·
但是AK是MN、NX之上的正方形之和，而EL是由MN、NX所围成的矩形；因此，MN、NX之上的正方形之和与由MN、NX所围成的矩形不共测。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝΞ τῷ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ. καί ἐστι μέσον ἑκάτερον αὐτῶν, καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι.
且它们中的每一个都是中面积，且MN、NX在平方上不共测。
ἡ ΜΞ ἄρα δύο μέσα δυναμένη ἐστὶ καὶ δύναται τὸ ΑΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，MX是能产生两个中项面积的线，且它是面积AC的方根；即所要求证的。