§10.prop1.9#2εἰ γὰρ ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, σύμμετρος ἔσται ἡ Α τῇ Β. οὐκ ἔστι δέ· οὐκ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
因为，如果 A 上的正方形对 B 上的正方形具有平方数对平方数的比，则 A 与 B 将是可通约的。 但事实并非如此；所以 A 上的正方形对 B 上的正方形不具有平方数对平方数的比。
πάλιν δὴ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· λέγω, ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει.
接下来，设 A 上的正方形对 B 上的正方形不具有平方数对平方数的比；我说，A 与 B 在长度上不可通约。
εἰ γάρ ἐστι σύμμετρος ἡ Α τῇ Β, ἕξει τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
因为，如果 A 与 B 可通约，则 A 上的正方形对 B 上的正方形具有平方数对平方数的比。
οὐκ ἔχει δέ· οὐκ ἄρα σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει.
但它不具有；所以 A 与 B 在长度上不可通约。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων, καὶ τὰ ἑξῆς.
是故，关于长度上可通约的直线的正方形，及以下等等。
Πόρισμα
καὶ φανερὸν ἐκ τῶν δεδειγμένων ἔσται, ὅτι αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει, αἱ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει [εἴπερ τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, τὰ δὲ λόγον ἔχοντα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, σύμμετρά ἐστιν.
系且从已证明的事实中显然可知，在长度上可通约的直线，在平方上也必然可通约，但在平方上可通约的，在长度上不必然可通约［如果与长度可通约的直线的正方形确实具有平方数对平方数的比，且那些具有数对数之比的图形是可通约的。
ὥστε αἱ μήκει σύμμετροι εὐθεῖαι οὐ μόνον μήκει σύμμετροι, ἀλλὰ καὶ δυνάμει.
因此，在长度上可通约的直线不仅在长度上可通约，而且在平方上也可通约。
πάλιν ἐπεί, ὅσα τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, μήκει ἐδείχθη σύμμετρα καὶ δυνάμει ὄντα σύμμετρα τῷ τὰ τετράγωνα λόγον ἔχειν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ὅσα ἄρα τετράγωνα λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀλλὰ ἁπλῶς, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, σύμμετρα μὲν ἔσται αὐτὰ τὰ τετράγωνα δυνάμει, οὐκέτι δὲ καὶ μήκει· ὥστε τὰ μὲν μήκει σύμμετρα πάντως καὶ δυνάμει, τὰ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει, εἰ μὴ καὶ λόγον ἔχοιεν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
再次，既然所有互有平方数对平方数之比的正方形，已被证明在长度上是可通约的，且那些在平方上可通约的是通过正方形具有数对数之比，所以，所有不具有平方数对平方数之比，而仅具有数对数之比的正方形，这些正方形本身在平方上将是可通约的，但不再在长度上也是如此；因此，在长度上可通约的必然在平方上也如此，但在平方上可通约的并不必然在长度上也如此，除非它们也具有平方数对平方数的比。
λέγω δή, ὅτι αἱ μήκει ἀσύμμετροι οὐ πάντως καὶ δυνάμει, ἐπειδήπερ αἱ δυνάμει σύμμετροι δύνανται λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ διὰ τοῦτο δυνάμει οὖσαι σύμμετροι μήκει εἰσὶν ἀσύμμετροι.
我说，在长度上不可通约的，在平方上并不必然也不可通约，因为在平方上可通约的能够不具有平方数对平方数的比，因此，它们虽然在平方上可通约，但在长度上是不可通约的。
ὥστε οὐχ αἱ τῷ μήκει ἀσύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει, ἀλλὰ δύνανται μήκει οὖσαι ἀσύμμετροι δυνάμει εἶναι καὶ ἀσύμμετροι καὶ σύμμετροι.
所以，长度上不可通约的并不必然在平方上也如此，而是长度上不可通约的既可以在平方上不可通约，也可以在平方上可通约。
αἱ δὲ δυνάμει ἀσύμμετροι πάντως καὶ μήκει ἀσύμμετροι· εἰ γὰρ μήκει σύμμετροι, ἔσονται καὶ δυνάμει σύμμετροι.
而在平方上不可通约的，在长度上也必然不可通约；因为如果它们在长度上可通约，它们在平方上也将可通约。
ὑπόκεινται δὲ καὶ ἀσύμμετροι· ὅπερ ἄτοπον.
但它们也被假定为不可通约的；这是荒谬的。
αἱ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροι πάντως καὶ μήκει].
因此在平方上不可通约的在长度上也必然如此］。
λῆμμα
δέδεικται ἐν τοῖς ἀριθμητικοῖς, ὅτι οἱ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ὅτι, ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὅμοιοί εἰσιν ἐπίπεδοι.
引理在算术书中已经证明，相似的平面数彼此具有平方数对平方数的比，且若两数彼此具有平方数对平方数的比，则它们是相似平面数。
καὶ δῆλον ἐκ τούτων, ὅτι οἱ μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοί, τουτέστιν οἱ μὴ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς, πρὸς ἀλλήλους λόγον οὐκ ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
且由这些显然可知，不相似的平面数，即那些边不成比例的数，彼此不具有平方数对平方数的比。
εἰ γὰρ ἕξουσιν, ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἔσονται· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.
因为如果具有，它们将是相似平面数；而这并非所假定。
οἱ ἄρα μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι πρὸς ἀλλήλους λόγον οὐκ ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
所以不相似的平面数彼此不具有平方数对平方数的比。