§10.prop1.9#2εἰ γὰρ ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, σύμμετρος ἔσται ἡ Α τῇ Β. οὐκ ἔστι δέ·
なぜなら、もしΑ上の正方形がΒ上の正方形に対して、平方数に対する平方数と同じ比をもつならば、ΑはΒと［長さを］通約できるであろう。 しかし、そうではない。
οὐκ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
したがって、Α上の正方形はΒ上の正方形に対して、平方数に対する平方数と同じ比をもたない。
πάλιν δὴ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
では次に、Α上の正方形がΒ上の正方形に対して、平方数に対する平方数と同じ比をもたないとせよ。
λέγω, ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει.
私は、ΑはΒと長さを通約できないと言う。
εἰ γάρ ἐστι σύμμετρος ἡ Α τῇ Β, ἕξει τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
なぜなら、もしΑがΒと通約できるならば、Α上の正方形はΒ上の正方形に対して、平方数に対する平方数と同じ比をもつであろう。
οὐκ ἔχει δέ·
しかし、もたない。
οὐκ ἄρα σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει.
したがって、ΑはΒと長さを通約できない。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων, καὶ τὰ ἑξῆς.
それゆえ、長さを通約できる直線上の正方形、およびその後に続くもの。
Πόρισμα
καὶ φανερὸν ἐκ τῶν δεδειγμένων ἔσται, ὅτι αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει, αἱ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει [εἴπερ τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, τὰ δὲ λόγον ἔχοντα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, σύμμετρά ἐστιν.
系そして、示されたことから、長さを通約できる直線は必ず平方でも通約できるが、平方で通約できる直線は必ずしも長さでも通約できるとは限らない、ということは明らかであろう。 ［もし長さを通約できる直線上の正方形が、平方数に対する平方数と同じ比をもち、そして比をもつものは数に対する数と同じ比をもつので通約できるならば。
ὥστε αἱ μήκει σύμμετροι εὐθεῖαι οὐ μόνον μήκει σύμμετροι, ἀλλὰ καὶ δυνάμει.
したがって、長さを通約できる直線は、長さを通約できるだけでなく、平方でも通約できる。
πάλιν ἐπεί, ὅσα τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, μήκει ἐδείχθη σύμμετρα καὶ δυνάμει ὄντα σύμμετρα τῷ τὰ τετράγωνα λόγον ἔχειν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ὅσα ἄρα τετράγωνα λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀλλὰ ἁπλῶς, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, σύμμετρα μὲν ἔσται αὐτὰ τὰ τετράγωνα δυνάμει, οὐκέτι δὲ καὶ μήκει·
再び、互いに平方数に対する平方数と同じ比をもつ正方形はすべて、長さが通約でき、かつ正方形が数に対する数と同じ比をもつことによって平方でも通約できることが示されたのであるから、したがって、平方数に対する平方数と同じ比をもたず、単に数に対する数と同じ比をもつ正方形はすべて、それら正方形自身は平方で通約できるであろうが、もはや長さでも通約できるわけではない。
ὥστε τὰ μὲν μήκει σύμμετρα πάντως καὶ δυνάμει, τὰ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει, εἰ μὴ καὶ λόγον ἔχοιεν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
したがって、長さを通約できるものは必ず平方でも通約できるが、平方で通約できるものは、平方数に対する平方数と同じ比をもたない限り、必ずしも長さでも通約できるとは限らない。
λέγω δή, ὅτι αἱ μήκει ἀσύμμετροι οὐ πάντως καὶ δυνάμει, ἐπειδήπερ αἱ δυνάμει σύμμετροι δύνανται λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ διὰ τοῦτο δυνάμει οὖσαι σύμμετροι μήκει εἰσὶν ἀσύμμετροι.
私はさらに、長さを通約できないものは必ずしも平方でも通約できないわけではないと言う。 なぜなら、平方で通約できるものは、平方数に対する平方数と同じ比をもたないことがあり得、このために平方で通約できても長さでは通約できないからである。
ὥστε οὐχ αἱ τῷ μήκει ἀσύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει, ἀλλὰ δύνανται μήκει οὖσαι ἀσύμμετροι δυνάμει εἶναι καὶ ἀσύμμετροι καὶ σύμμετροι.
したがって、長さで通約できないものが必ずしも平方でも通約できないわけではなく、長さで通約できなくても、平方では通約できないことも通約できることもある。
αἱ δὲ δυνάμει ἀσύμμετροι πάντως καὶ μήκει ἀσύμμετροι·
しかし、平方で通約できないものは、必ず長さでも通約できない。
εἰ γὰρ μήκει σύμμετροι, ἔσονται καὶ δυνάμει σύμμετροι.
なぜなら、もし長さで通約できるならば、平方でも通約できるであろう。
ὑπόκεινται δὲ καὶ ἀσύμμετροι·
しかし、［平方で］通約できないとも仮定されている。
ὅπερ ἄτοπον.
これは不合理である。
αἱ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροι πάντως καὶ μήκει].
したがって、平方で通約できないものは必ず長さでも通約できない］。
λῆμμα
δέδεικται ἐν τοῖς ἀριθμητικοῖς, ὅτι οἱ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ὅτι, ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὅμοιοί εἰσιν ἐπίπεδοι.
補題数論において、相似な平面数は互いに、平方数に対する平方数と同じ比をもつこと、また、もし二つの数が互いに、平方数に対する平方数と同じ比をもつならば、それらは相似な平面数であることが示されている。
καὶ δῆλον ἐκ τούτων, ὅτι οἱ μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοί, τουτέστιν οἱ μὴ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς, πρὸς ἀλλήλους λόγον οὐκ ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
そして、これらから、相似でない平面数、すなわち辺が比例していない数は、互いに、平方数に対する平方数と同じ比をもたないことは明らかである。
εἰ γὰρ ἕξουσιν, ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἔσονται·
なぜなら、もしもつならば、それらは相似な平面数となるであろう。
ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.
しかし、そうではないと仮定されている。
οἱ ἄρα μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι πρὸς ἀλλήλους λόγον οὐκ ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
したがって、相似でない平面数は、互いに、平方数に対する平方数と同じ比をもたない。