§10.prop1.9#2εἰ γὰρ ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, σύμμετρος ἔσται ἡ Α τῇ Β. οὐκ ἔστι δέ·
왜냐하면 만일 Α 위의 정사각형이 Β 위의 정사각형에 대하여 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 가진다면, Α는 Β와 통약가능할 것이다. 그러나 그렇지 않다.
οὐκ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
그러므로 Α 위의 정사각형은 Β 위의 정사각형에 대하여 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 가지지 않는다.
πάλιν δὴ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
이제 다시 Α 위의 정사각형이 Β 위의 정사각형에 대하여 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 가지지 않는다고 하자.
λέγω, ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει.
나는 Α가 Β와 길이로 통약불가능하다고 말한다.
εἰ γάρ ἐστι σύμμετρος ἡ Α τῇ Β, ἕξει τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
왜냐하면 만일 Α가 Β와 통약가능하다면, Α 위의 정사각형은 Β 위의 정사각형에 대하여 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 가질 것이다.
οὐκ ἔχει δέ·
그러나 가지지 않는다.
οὐκ ἄρα σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει.
그러므로 Α는 Β와 길이로 통약불가능하다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων, καὶ τὰ ἑξῆς.
그러므로 길이로 통약가능한 것들 위의 정사각형들, 그리고 그 이하의 것들.
Πόρισμα
καὶ φανερὸν ἐκ τῶν δεδειγμένων ἔσται, ὅτι αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει, αἱ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει [εἴπερ τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, τὰ δὲ λόγον ἔχοντα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, σύμμετρά ἐστιν.
계 그리고 앞서 증명된 것들로부터, 길이로 통약가능한 직선들은 반드시 제곱으로도 통약가능하지만, 제곱으로 통약가능한 직선들이 반드시 길이로도 통약가능한 것은 아니라는 점이 분명해질 것이다. [만일 길이로 통약가능한 직선들 위의 정사각형들이 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 가지고, 한편 수가 수에 대하여 가지는 비를 가지는 것들이 통약가능하다면.
ὥστε αἱ μήκει σύμμετροι εὐθεῖαι οὐ μόνον μήκει σύμμετροι, ἀλλὰ καὶ δυνάμει.
그리하여 길이로 통약가능한 직선들은 길이로 통약가능할 뿐만 아니라, 제곱으로도 통약가능하다.
πάλιν ἐπεί, ὅσα τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, μήκει ἐδείχθη σύμμετρα καὶ δυνάμει ὄντα σύμμετρα τῷ τὰ τετράγωνα λόγον ἔχειν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ὅσα ἄρα τετράγωνα λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀλλὰ ἁπλῶς, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, σύμμετρα μὲν ἔσται αὐτὰ τὰ τετράγωνα δυνάμει, οὐκέτι δὲ καὶ μήκει·
다시, 서로에 대하여 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 가지는 정사각형들은 모두 길이로 통약가능하고, 또한 정사각형들이 수가 수에 대하여 가지는 비를 가짐으로써 제곱으로도 통약가능하다는 것이 증명되었으므로, 그러므로 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 가지지 않고 단순히 수가 수에 대하여 가지는 비를 가지는 정사각형들은 모두, 정사각형 자체는 제곱으로 통약가능하겠지만, 더 이상 길이로도 통약가능한 것은 아니다.
ὥστε τὰ μὲν μήκει σύμμετρα πάντως καὶ δυνάμει, τὰ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει, εἰ μὴ καὶ λόγον ἔχοιεν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
그리하여 길이로 통약가능한 것들은 반드시 제곱으로도 통약가능하지만, 제곱으로 통약가능한 것들은 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 가지지 않는 한, 반드시 길이로도 통약가능한 것은 아니다.
λέγω δή, ὅτι αἱ μήκει ἀσύμμετροι οὐ πάντως καὶ δυνάμει, ἐπειδήπερ αἱ δυνάμει σύμμετροι δύνανται λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ διὰ τοῦτο δυνάμει οὖσαι σύμμετροι μήκει εἰσὶν ἀσύμμετροι.
나는 또한, 길이로 통약불가능한 것들이 반드시 제곱으로도 통약불가능한 것은 아니라고 말한다. 왜냐하면 제곱으로 통약가능한 것들이 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 가지지 않을 수 있고, 이 때문에 제곱으로 통약가능하면서도 길이로는 통약불가능하기 때문이다.
ὥστε οὐχ αἱ τῷ μήκει ἀσύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει, ἀλλὰ δύνανται μήκει οὖσαι ἀσύμμετροι δυνάμει εἶναι καὶ ἀσύμμετροι καὶ σύμμετροι.
그리하여 길이로 통약불가능한 것들이 반드시 제곱으로도 통약불가능한 것은 아니며, 길이로 통약불가능하면서 제곱으로는 통약불가능할 수도 있고 통약가능할 수도 있다.
αἱ δὲ δυνάμει ἀσύμμετροι πάντως καὶ μήκει ἀσύμμετροι·
그러나 제곱으로 통약불가능한 것들은 반드시 길이로도 통약불가능하다.
εἰ γὰρ μήκει σύμμετροι, ἔσονται καὶ δυνάμει σύμμετροι.
왜냐하면 만일 길이로 통약가능하다면, 제곱으로도 통약가능할 것이기 때문이다.
ὑπόκεινται δὲ καὶ ἀσύμμετροι·
그러나 통약불가능하다고도 가정되어 있다.
ὅπερ ἄτοπον.
이는 모순이다.
αἱ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροι πάντως καὶ μήκει]. λῆμμα
δέδεικται ἐν τοῖς ἀριθμητικοῖς, ὅτι οἱ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ὅτι, ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὅμοιοί εἰσιν ἐπίπεδοι.
그러므로 제곱으로 통약불가능한 것들은 반드시 길이로도 통약불가능하다.] 보조정리 산술 책들에서 닮은 평면수들은 서로에 대하여 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 가진다는 것, 그리고 만일 두 수가 서로에 대하여 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 가진다면 그것들은 닮은 평면수라는 점이 증명되었다.
καὶ δῆλον ἐκ τούτων, ὅτι οἱ μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοί, τουτέστιν οἱ μὴ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς, πρὸς ἀλλήλους λόγον οὐκ ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
그리고 이로부터 닮지 않은 평면수들, 즉 변들이 비례하지 않는 수들은 서로에 대하여 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 가지지 않는다는 것이 분명하다.
εἰ γὰρ ἕξουσιν, ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἔσονται·
왜냐하면 만일 가진다면 그것들은 닮은 평면수들일 것이기 때문이다.
ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.
그러나 이는 가정되어 있지 않다.
οἱ ἄρα μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι πρὸς ἀλλήλους λόγον οὐκ ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
그러므로 닮지 않은 평면수들은 서로에 대하여 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 가지지 않는다.