§10.prop1.9#1τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὰ τετράγωνα τὰ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ τὰς πλευρὰς ἕξει μήκει συμμέτρους.
与长度可通约的直线的正方形彼此具有平方数对平方数的比；而彼此具有平方数对平方数之比的正方形，其边也与长度可通约。
τὰ δὲ ἀπὸ τῶν μήκει ἀσυμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον οὐκ ἔχει, ὅνπερ τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὰ τετράγωνα τὰ πρὸς ἄλληλα λόγον μὴ ἔχοντα, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὰς πλευρὰς ἕξει μήκει συμμέτρους.
而与长度不可通约的直线的正方形，彼此不具有平方数对平方数的比；而彼此不具有平方数对平方数之比的正方形，其边也与长度不可通约。
ἔστωσαν γὰρ αἱ Α, Β μήκει σύμμετροι· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
因为，设 A、B 在长度上可通约；我说，A 上的正方形对 B 上的正方形具有平方数对平方数的比。
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει, ἡ Α ἄρα πρὸς τὴν Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.
因为，既然 A 在长度上与 B 可通约，所以 A 对 B 具有数对数的比。
ἐχέτω, ὃν ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ἀλλὰ τοῦ μὲν τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγου διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον· τὰ γὰρ ὅμοια σχήματα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν· τοῦ δὲ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγου διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τοῦ Γ τετραγώνου πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ τετράγωνον· δύο γὰρ τετραγώνων ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, καὶ ὁ τετράγωνος πρὸς τὸν τετράγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ τετράγωνον.
设其具有 C 对 D 的比。 因此，既然 A 对 B 相当于 C 对 D，而在 A 上的正方形对在 B 上的正方形的比，是 A 对 B 的比的双倍比；因为相似图形处于其对应边的双倍比之中；而 C 上的平方对 D 上的平方的比是 C 对 D 的比的双倍比；因为在两个平方数之间有一个比例中项数，且平方数对平方数具有边对边的比的双倍比；所以，如同 A 上的正方形对 B 上的正方形，C 上的平方对 D 上的平方也是如此。
ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ·
接下来，设如同 A 上的正方形对 B 上的正方形，C 上的平方对 D 上的平方也是如此。
λέγω, ὅτι σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει.
我说，A 在长度上与 B 可通约。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ, ἀλλʼ ὁ μὲν τοῦ ἀπὸ τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγος διπλασίων ἐστὶ τοῦ τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγου, ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ τοῦ Γ τετραγώνου πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ τετράγωνον λόγος διπλασίων ἐστὶ τοῦ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγου, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.
因为，既然 A 上的正方形对 B 上的正方形，相当于 C 上的平方对 D 上的平方，而在 A 上的正方形对 B 上的正方形的比，是 A 对 B 的比的双倍比，C 上的平方对 D 上的平方的比，是 C 对 D 的比的双倍比，所以，A 对 B 相当于 C 对 D。
ἡ Α ἄρα πρὸς τὴν Β, λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Δ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ Β μήκει.
因此 A 对 B 具有数 C 对数 D 的比；所以 A 在长度上与 B 可通约。
ἀλλὰ δὴ ἀσύμμετρος ἔστω ἡ Α τῇ Β μήκει·
接下来，设 A 与 B 在长度上不可通约。
λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
我说， A 上的正方形对 B 上的正方形不具有平方数对平方数的比。