§10.prop1.9#1τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
長さを通約できる直線上の正方形は互いに、平方数に対する平方数と同じ比をもつ。
καὶ τὰ τετράγωνα τὰ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ τὰς πλευρὰς ἕξει μήκει συμμέτρους.
そして、平方数に対する平方数と同じ比を互いにもつ正方形は、その辺も長さを通約できるであろう。
τὰ δὲ ἀπὸ τῶν μήκει ἀσυμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον οὐκ ἔχει, ὅνπερ τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
しかし、長さを通約できない直線上の正方形は互いに、平方数に対する平方数と同じ比をもたない。
καὶ τὰ τετράγωνα τὰ πρὸς ἄλληλα λόγον μὴ ἔχοντα, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὰς πλευρὰς ἕξει μήκει συμμέτρους.
そして、平方数に対する平方数と同じ比を互いにもたない正方形は、その辺も長さを通約できないであろう。
ἔστωσαν γὰρ αἱ Α, Β μήκει σύμμετροι·
なぜなら、Α, Β を長さを通約できるとせよ。
λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
私は、Α上の正方形は Β上の正方形に対して、平方数に対する平方数と同じ比をもつと言う。
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει, ἡ Α ἄρα πρὸς τὴν Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.
なぜなら、Α は Β と長さを通約できるので、したがって、Α は Β に対して、数に対する数と同じ比をもつ。
ἐχέτω, ὃν ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ἀλλὰ τοῦ μὲν τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγου διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον· τὰ γὰρ ὅμοια σχήματα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν·
それを、Γ の Δ に対する比とせよ。 そこで、Α の Β に対する比が、Γ の Δ に対する比と同じであるから、ところで、Α上の正方形の Β上の正方形に対する比は、Α の Β に対する比の2倍であり、なぜなら、相似な図形は、対応する辺の2倍の比にあるからである。
τοῦ δὲ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγου διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τοῦ Γ τετραγώνου πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ τετράγωνον· δύο γὰρ τετραγώνων ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, καὶ ὁ τετράγωνος πρὸς τὸν τετράγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν·
また、Γの2乗の Δの2乗に対する比は、Γ の Δ に対する比の2倍であり、なぜなら、二つの平方数の間には一つの比例中項の数があり、平方数は平方数に対して、辺が辺に対して有する比の2倍の比をもつからである。
ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ τετράγωνον.
したがって、Α上の正方形の Β上の正方形に対する比は、Γの2乗の Δの2乗に対する比と同じである。
ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ·
では次に、Α上の正方形の Β上の正方形に対する比が、Γの2乗の Δの2乗に対する比と同じであるとせよ。
λέγω, ὅτι σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει.
私は、Α は Β と長さを通約できると言う。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ, ἀλλʼ ὁ μὲν τοῦ ἀπὸ τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγος διπλασίων ἐστὶ τοῦ τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγου, ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ τοῦ Γ τετραγώνου πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ τετράγωνον λόγος διπλασίων ἐστὶ τοῦ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγου, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.
なぜなら、Α上の正方形の Β上の正方形に対する比が、Γの2乗の Δの2乗に対する比と同じであり、ところで、Α上の正方形の Β上の正方形に対する比は、Α の Β に対する比の2倍であり、Γの2乗の Δの2乗に対する比は、Γ の Δ に対する比の2倍であるから、したがって、Α の Β に対する比は、Γ の Δ に対する比と同じである。
ἡ Α ἄρα πρὸς τὴν Β, λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Δ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ Β μήκει.
それゆえ、Α は Β に対して、数 Γ の数 Δ に対する比をもち、したがって、Α は Β と長さを通約できる。
ἀλλὰ δὴ ἀσύμμετρος ἔστω ἡ Α τῇ Β μήκει·
では次に、Α は Β と長さを通約できないとせよ。
λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
私は、 Α上の正方形は Β上の正方形に対して、平方数に対する平方数と同じ比をもたないと言う。