§10.prop1.9#1τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
길이로 통약가능한 직선들 위의 정사각형들은 서로에 대하여 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 가진다.
καὶ τὰ τετράγωνα τὰ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ τὰς πλευρὰς ἕξει μήκει συμμέτρους.
그리고 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 서로에 대하여 가지는 정사각형들은, 그 변들도 길이로 통약가능할 것이다.
τὰ δὲ ἀπὸ τῶν μήκει ἀσυμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον οὐκ ἔχει, ὅνπερ τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러나 길이로 통약불가능한 직선들 위의 정사각형들은 서로에 대하여 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 바로 그 비를 가지지 않는다.
καὶ τὰ τετράγωνα τὰ πρὸς ἄλληλα λόγον μὴ ἔχοντα, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὰς πλευρὰς ἕξει μήκει συμμέτρους.
그리고 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 서로에 대하여 가지지 않는 정사각형들은, 그 변들도 길이로 통약가능하지 않을 것이다.
ἔστωσαν γὰρ αἱ Α, Β μήκει σύμμετροι·
왜냐하면 Α, Β가 길이로 통약가능하다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
나는 Α 위의 정사각형이 Β 위의 정사각형에 대하여 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 가진다고 말한다.
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει, ἡ Α ἄρα πρὸς τὴν Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.
왜냐하면 Α는 Β와 길이로 통약가능하므로, 그러므로 Α는 Β에 대하여 수가 수에 대하여 가지는 비를 가진다.
ἐχέτω, ὃν ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ἀλλὰ τοῦ μὲν τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγου διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον· τὰ γὰρ ὅμοια σχήματα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν·
그것을 Γ가 Δ에 대하여 가지는 비라 하자. 그러므로 Α의 Β에 대한 비가 Γ의 Δ에 대한 비와 같으므로, 그런데 Α 위의 정사각형의 Β 위의 정사각형에 대한 비는 Α의 Β에 대한 비의 두 배의 비이고, 왜냐하면 닮은 도형들은 대응하는 변들의 두 배의 비에 있기 때문이다.
τοῦ δὲ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγου διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τοῦ Γ τετραγώνου πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ τετράγωνον· δύο γὰρ τετραγώνων ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, καὶ ὁ τετράγωνος πρὸς τὸν τετράγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν·
또한 Γ 위의 제곱의 Δ 위의 제곱에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비의 두 배의 비이고, 왜냐하면 두 제곱수 사이에는 하나의 비례중항인 수가 있고, 제곱수는 제곱수에 대하여 변이 변에 대하여 가지는 비의 두 배의 비를 가지기 때문이다.
ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ τετράγωνον.
그러므로 또한 Α 위의 정사각형의 Β 위의 정사각형에 대한 비는, Γ 위의 제곱의 Δ 위의 제곱에 대한 비와 같다.
ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ·
이제 Α 위의 정사각형의 Β 위의 정사각형에 대한 비가, Γ 위의 제곱의 Δ 위의 제곱에 대한 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει.
나는 Α가 Β와 길이로 통약가능하다고 말한다.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ, ἀλλʼ ὁ μὲν τοῦ ἀπὸ τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγος διπλασίων ἐστὶ τοῦ τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγου, ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ τοῦ Γ τετραγώνου πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ τετράγωνον λόγος διπλασίων ἐστὶ τοῦ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγου, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.
왜냐하면 Α 위의 정사각형의 Β 위의 정사각형에 대한 비는, Γ 위의 제곱의 Δ 위의 제곱에 대한 비와 같고, 한편 Α 위의 정사각형의 Β 위의 정사각형에 대한 비는 Α의 Β에 대한 비의 두 배의 비이며, Γ 위의 제곱의 Δ 위의 제곱에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비의 두 배의 비이므로, 그러므로 또한 Α의 Β에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비와 같다.
ἡ Α ἄρα πρὸς τὴν Β, λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Δ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ Β μήκει.
그러므로 Α는 Β에 대하여 수 Γ가 수 Δ에 대하여 가지는 비를 가지고, 그러므로 Α는 Β와 길이로 통약가능하다.
ἀλλὰ δὴ ἀσύμμετρος ἔστω ἡ Α τῇ Β μήκει·
이제 Α가 Β와 길이로 통약불가능하다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
나는 Α 위의 정사각형이 Β 위의 정사각형에 대하여 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 가지지 않는다고 말한다.