§10.prop1.45ἡ μείζων κατὰ τὸ αὐτὸ μόνον σημεῖον διαιρεῖται.
大公线仅在同一个点上被分割。
ἔστω μείζων ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνων ῥητόν, τὸ δʼ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον·
设已将大公线 AB 在 C 点分割，使得 AC、CB 在平方上不共测，使 AC、CB 上的正方形之和为有理的，而由 AC、CB 包围的矩形为中项的。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται.
我指，AB 无法在另一个点上分割。
εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον.
因为如果可能，设它也在 D 点被分割，使得 AD、DB 在平方上也是不共测的，使 AD、DB 上的正方形之和为有理的，而由它们包围的矩形为中项的。
καὶ ἐπεί, ᾧ διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφέρει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα· καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ μέσα ὄντα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
并且，既然 AC、CB 上的正方形之和与 AD、DB 上的正方形之和相差多少，两倍的 AD、DB 包围的矩形与两倍的 AC、CB 包围的矩形也相差多少，但是 AC、CB 上的正方形之和以一个有理面积超过 AD、DB 上的正方形之和；因为两者都是有理的；因此，两倍的 AD、DB 包围的矩形也以一个有理面积超过两倍的 AC、CB 包围的矩形，尽管它们是中项的；这绝对是不可能的。
οὐκ ἄρα ἡ μείζων κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται· κατὰ τὸ αὐτὸ ἄρα μόνον διαιρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，大公线无法在不同的点上分割；因此它仅在同一个点上被分割；这正是所要证明的。
§10.prop1.46ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη καθʼ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται.
有理中项平方可尽线仅在一个点上被分割。
ἔστω ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ῥητόν·
设已将有理中项平方可尽线 AB 在 C 点分割，使得 AC、CB 在平方上不共测，使 AC、CB 上的正方形之和为中项的，而两倍的由 AC、CB 包围的矩形为有理的。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται.
我指，AB 无法在另一个点上分割。
εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν.
因为如果可能，设它也在 D 点被分割，使得 AD、DB 在平方上也是不共测的，使 AD、DB 上的正方形之和为中项的，而两倍的由 AD、DB 包围的矩形为有理的。
ἐπεὶ οὖν, ᾧ διαφέρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφέρει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ὑπερέχει ῥητῷ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ μέσα ὄντα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
因此，既然两倍的由 AC、CB 包围的矩形与两倍的由 AD、DB 包围的矩形相差多少，AD、DB 上的正方形之和与 AC、CB 上的正方形之和也相差多少，但是两倍的由 AC、CB 包围的矩形以一个有理面积超过两倍的由 AD、DB 包围的矩形；因此，AD、DB 上的正方形之和也以一个有理面积超过 AC、CB 上的正方形之和，尽管它们是中项的；这绝对是不可能的。
οὐκ ἄρα ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται.
因此，有理中项平方可尽线无法在不同的点上分割。
κατὰ ἓν ἄρα σημεῖον διαιρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，它仅在一个点上被分割；这正是所要证明的。
§10.prop1.47ἡ δύο μέσα δυναμένη καθʼ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται.
二中项平方可尽线仅在一个点上被分割。
ἔστω ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν.
设已将 AB 在 C 点分割，使得 AC、CB 在平方上不共测，使 AC、CB 上的正方形之和为中项的，且由 AC、CB 包围的矩形也为中项的，并且进一步与它们之上的正方形之和不共测。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται ποιοῦσα τὰ προκείμενα.
我指，AB 无法在创造前述条件的另一个点上被分割。
εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω κατὰ τὸ Δ, ὥστε πάλιν δηλονότι τὴν ΑΓ τῇ ΔΒ μὴ εἶναι τὴν αὐτήν, ἀλλὰ μείζονα καθʼ ὑπόθεσιν τὴν ΑΓ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΕΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΘΚ·
因为如果可能，设它在 D 点被分割，使得显然 AC 与 DB 并不是同一条线，而根据假设，设 AC 较大。
ὅλον ἄρα τὸ ΕΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ.
设已给出有理线 EF，并在 EF 上贴合一个等于 AC、CB 上的正方形之和的 EH，且贴合一个等于两倍的由 AC、 CB 包围的矩形的 TH；因此，整个 EK 等于 AB 上的正方形。
πάλιν δὴ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον τὸ ΕΛ· λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ λοιπῷ τῷ ΜΚ ἴσον ἐστίν.
再次，设贴合一个等于 AD、DB 上的正方形之和的 EL；因此，余下的两倍的由 AD、DB 包围的矩形等于余下的 MK。
καὶ ἐπεὶ μέσον ὑπόκειται τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται·
并且，由于 AC、CB 上的正方形之和被假定为中项的，因此 EH 也是中项的。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΕ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
且它贴合于有理线 EF；因此 TE 是有理线，并且在长度上与 EF 不共测。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΝ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
由于同样的原因，TN 也是有理线，且在长度上与 EF 不共测。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ τὸ ΕΗ ἄρα τῷ ΗΝ ἀσύμμετρόν ἐστιν· ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΝ ἀσύμμετρός ἐστιν.
并且，由于 AC、CB 上的正方形之和与两倍的由 AC、CB 包围的矩形不共测，因此 EH 也与 HN 不共测；以至于 ET 也与 TN 不共测。
καί εἰσι ῥηταί· αἱ ΕΘ, ΘΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΕΝ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ διῃρημένη κατὰ τὸ Θ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ κατὰ τὸ Μ διῄρηται.
且它们是有理线；因此 ET、TN 是仅在平方上通测的有理线；因此 EN 是一条在 T 点分割的二项线。 同样地，我们将证明，它也在 M 点被分割。
καὶ οὐκ ἔστιν ἡ ΕΘ τῇ ΜΝ ἡ αὐτή· ἡ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διῄρηται· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον.
而 ET 与 MN 并不是同一条线；因此，二项线在不同的点上被分割；而这是荒谬的。
οὐκ ἄρα ἡ δύο μέσα δυναμένη κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται· καθʼ ἓν ἄρα μόνον διαιρεῖται.
因此，二中项平方可尽线无法在不同的点上分割；因此它仅在一个点上被分割。