§10.prop1.44ἡ ἐκ μέσων δευτέρα καθʼ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται.
第二二中项线仅在唯一一个点上被分割。
ἔστω ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περιεχούσας·
设已将第二二中项线 AB 在 C 点分割，使得 AC、CB 是仅在平方上通约、包围一个中项面积的中项线。
φανερὸν δή, ὅτι τὸ Γ οὐκ ἔστι κατὰ τῆς διχοτομίας, ὅτι οὐκ εἰσὶ μήκει σύμμετροι.
那么显然，C 不在二等分点上，因为它们在长度上是不共测的。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται.
我指，AB 无法在另一个点上分割。
εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε τὴν ΑΓ τῇ ΔΒ μὴ εἶναι τὴν αὐτήν, ἀλλὰ μείζονα καθʼ ὑπόθεσιν τὴν ΑΓ·
因为如果可能，设它也在 D 点被分割，使得 AC 与 DB 不是同一条线，而根据假设，设 AC 较大。
δῆλον δή, ὅτι καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ὡς ἐπάνω ἐδείξαμεν, ἐλάσσονα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
那么显然，AD、DB 上的正方形之和，如我们在上面所证明的，也小于 AC、CB 上的正方形之和。
καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περιεχούσας.
并且，设 AD、DB 也是仅在平方上通约、包围一个中项面积的中项线。
καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον παραβεβλήσθω τὸ ΕΚ, τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΕΗ·
设已给出有理线 EF，并在 EF 上贴合一个等于 AB 上的正方形的矩形 EK，且截取等于 AC、CB 上的正方形之和的 EH；因此，余下的 HK 等于两倍的由 AC、CB 包围的矩形。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΚ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. πάλιν δὴ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ἅπερ ἐλάσσονα ἐδείχθη τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΕΛ·
再次，设截取等于 AD、DB 上的正方形之和的 EL，而这已被证明小于 AC、CB 上的正方形之和；因此余下的 MK 也等于两倍的由 AD、DB 包围的矩形。
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΜΚ ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ μέσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μέσον ἄρα τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται·
并且，由于 AC、CB 上的正方形之和是中项的，因此 EH 也是中项的。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
且它贴合于有理线 EF；因此 EG 是有理的，且在长度上与 EF 不共测。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΝ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
因此由于同样的原因，GN 也是有理的，且在长度上与 EF 不共测。
καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μήκει.
并且，由于 AC、CB 是仅在平方上通约的中项线，因此 AC 在长度上与 CB 不共测。
ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
而正如 AC 比 CB，AC 上的正方形也比由 AC、CB 包围的矩形；因此，AC 上的正方形与由 AC、CB 包围的矩形不共测。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
但是，AC 上的正方形与 AC、CB 上的正方形之和共测；因为 AC、CB 在平方上是通测的。
δυνάμει γάρ εἰσι σύμμετροι αἱ ΑΓ, ΓΒ. τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἄρα ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΘΚ·
而由 AC、CB 包围的矩形与两倍的由 AC、CB 包围的矩形共测。 因此，AC、CB 上的正方形之和也与两倍的由 AC、CB 包围的矩形不共测。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΚ· ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΝ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει.
但是，EH 等于 AC、CB 上的正方形之和，且 HK 等于两倍的由 AC、CB 包围的矩形；因此，EH 与 HK 不共测；以至于 EG 也在长度上与 GN 不共测。
καί εἰσι ῥηταί· αἱ ΕΘ, ΘΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
且它们是有理的；因此 EG、GN 是仅在平方上通测的有理线。
ἐὰν δὲ δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσιν, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων· ἡ ΕΝ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ διῃρημένη κατὰ τὸ Θ. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ δειχθήσονται καὶ αἱ ΕΜ, ΜΝ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι· καὶ ἔσται ἡ ΕΝ ἐκ δύο ὀνομάτων κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο διῃρημένη τό τε Θ καὶ τὸ Μ, καὶ οὐκ ἔστιν ἡ ΕΘ τῇ ΜΝ ἡ αὐτή, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ·
而如果将两条仅在平方上通测的有理线加在一起，则全体是一条被称为二项线的无理线；因此，EN 是一条在 G 点分割的二项线。 因此，以同样的方法也将证明， EM、MN 也是仅在平方上通测的有理线；且二项线 EN 将在不同的点上，即 G 和 M 点，被分割，并且 EG 与 MN 不是同一条线，因为 AC、CB 上的正方形之和大于 AD、DB 上的正方形之和。
πολλῷ ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ΕΗ, μεῖζόν ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τουτέστι τοῦ ΜΚ· ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῆς ΜΝ μείζων ἐστίν.
但是，AD、DB 上的正方形之和大于两倍的由 AD、DB 包围的矩形；因此，更加显然，AC、CB 上的正方形之和（即 EH）大于两倍的由 AD、DB 包围的矩形（即 MK）；以至于 EG 也大于 MN。
ἡ ἄρα ΕΘ τῇ ΜΝ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此 EG 与 MN 不是同一条线；这正是所要证明的。