§10.prop1.45ἡ μείζων κατὰ τὸ αὐτὸ μόνον σημεῖον διαιρεῖται.
대공선은 오직 같은 점에서만 분할된다.
ἔστω μείζων ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνων ῥητόν, τὸ δʼ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον·
대공선 AB가 C에서 분할되어 있다고 하고, 따라서 AC, CB는 제곱에서 통약할 수 없으며, AC, CB 위의 정사각형들의 합을 유리로 만들고, AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형을 미디얼로 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται.
나는 AB가 다른 점에서는 분할되지 않음을 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον.
왜냐하면 가능하다면 D에서도 분할된다고 하여 AD, DB 역시 제곱에서 통약할 수 없으며, AD, DB 위의 정사각형들의 합을 유리로 만들고, 그것들에 의해 둘러싸인 직사각형을 미디얼로 만든다고 하자.
καὶ ἐπεί, ᾧ διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφέρει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ὑπερέχει ῥητῷ·
그리고 AC, CB 위의 정사각형들의 합이 AD, DB 위의 정사각형들의 합과 다른 바로 그 차이에 의해, 두 배의 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 두 배의 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형과 다르게 되는데, 그런데 AC, CB 위의 정사각형들의 합은 AD, DB 위의 정사각형들의 합을 유리인 넓이로 초과한다.
ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα·
왜냐하면 둘 다 유리이기 때문이다.
καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ μέσα ὄντα·
따라서 두 배의 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 두 배의 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형을, 미디얼이면서도, 유리인 넓이로 초과하게 된다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이는 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἡ μείζων κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται·
그러므로 대공선은 서로 다른 점에서 분할되지 않는다.
κατὰ τὸ αὐτὸ ἄρα μόνον διαιρεῖται·
따라서 오직 같은 점에서만 분할된다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
§10.prop1.46ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη καθʼ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται.
유리미디얼제곱가진선은 오직 한 점에서만 분할된다.
ἔστω ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ῥητόν·
유리미디얼제곱가진선 AB가 C에서 분할되어 있다고 하고, 따라서 AC, CB는 제곱에서 통약할 수 없으며, AC, CB 위의 정사각형들의 합을 미디얼로 만들고, 두 배의 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형을 유리로 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται.
나는 AB가 다른 점에서는 분할되지 않음을 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν.
왜냐하면 가능하다면 D에서도 분할된다고 하여 AD, DB 역시 제곱에서 통약할 수 없으며, AD, DB 위의 정사각형들의 합을 미디얼로 만들고, 두 배의 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형을 유리로 만든다고 하자.
ἐπεὶ οὖν, ᾧ διαφέρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφέρει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ὑπερέχει ῥητῷ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ μέσα ὄντα·
그렇다면 두 배의 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형이 두 배의 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형과 다른 바로 그 차이에 의해, AD, DB 위의 정사각형들의 합 역시 AC, CB 위의 정사각형들의 합과 다르게 되는데, 그런데 두 배의 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형은 두 배의 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형을 유리인 넓이로 초과하므로, 따라서 AD, DB 위의 정사각형들의 합 역시 AC, CB 위의 정사각형들의 합을, 미디얼이면서도, 유리인 넓이로 초과하게 된다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이는 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται.
그러므로 유리미디얼제곱가진선은 서로 다른 점에서 분할되지 않는다.
κατὰ ἓν ἄρα σημεῖον διαιρεῖται·
따라서 오직 한 점에서만 분할된다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
§10.prop1.47ἡ δύο μέσα δυναμένη καθʼ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται.
이중미디얼제곱가진선은 오직 한 점에서만 분할된다.
ἔστω ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν.
AB가 C에서 분할되어 있다고 하고, 따라서 AC, CB는 제곱에서 통약할 수 없으며, AC, CB 위의 정사각형들의 합을 미디얼로 만들고, 또한 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형을 미디얼로 만들며, 나아가 그것들 위의 정사각형들의 합과 통약할 수 없게 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται ποιοῦσα τὰ προκείμενα.
나는 AB가 앞서 제시된 조건들을 만족하면서 다른 점에서 분할되지는 않음을 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω κατὰ τὸ Δ, ὥστε πάλιν δηλονότι τὴν ΑΓ τῇ ΔΒ μὴ εἶναι τὴν αὐτήν, ἀλλὰ μείζονα καθʼ ὑπόθεσιν τὴν ΑΓ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΕΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΘΚ·
왜냐하면 가능하다면 D에서 분할된다고 하여 다시 분명히 AC가 DB와 같지 않으며, 가정에 의해 AC가 더 크다고 하자.
ὅλον ἄρα τὸ ΕΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ.
그리고 유리직선 EF가 설정되어 있다고 하고, AC, CB 위의 정사각형들의 합과 같은 EH를 EF에 대어 만들고, 두 배의 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형과 같은 TK를 대어 만든다고 하자.
πάλιν δὴ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον τὸ ΕΛ·
따라서 전체 EK는 AB 위의 정사각형과 같다.
λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ λοιπῷ τῷ ΜΚ ἴσον ἐστίν.
다시 바로, AD, DB 위의 정사각형들의 합과 같은 EL을 EF에 대어 만든다고 하자.
καὶ ἐπεὶ μέσον ὑπόκειται τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται·
그렇다면 남은, 두 배의 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형은 남은 MK와 같다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΕ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
그리고 AC, CB 위의 정사각형들의 합은 미디얼로 가정되었으므로, EH 역시 미디얼이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΝ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
그리고 그것은 유리직선 EF에 대어 만들어졌다.
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ τὸ ΕΗ ἄρα τῷ ΗΝ ἀσύμμετρόν ἐστιν·
따라서 TE는 유리직선이며, EF와 길이에서 통약할 수 없다.
ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΝ ἀσύμμετρός ἐστιν.
같은 이유로 바로 TN 역시 유리직선이며, EF와 길이에서 통약할 수 없다.
καί εἰσι ῥηταί·
그리고 AC, CB 위의 정사각형들의 합은 두 배의 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없으므로, EH 역시 HN과 통약할 수 없다.
αἱ ΕΘ, ΘΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그 결과 ET 역시 TN과 통약할 수 없다.
ἡ ΕΝ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ διῃρημένη κατὰ τὸ Θ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ κατὰ τὸ Μ διῄρηται.
그리고 그것들은 유리직선이다.
καὶ οὐκ ἔστιν ἡ ΕΘ τῇ ΜΝ ἡ αὐτή·
따라서 ET, TN은 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선이다.
ἡ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διῄρηται·
그러므로 EN은 이항선이며, T에서 분할된다.
ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον.
이와 같이 바로, 그것이 M에서도 분할됨이 증명될 것이다.
οὐκ ἄρα ἡ δύο μέσα δυναμένη κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται·
그리고 ET는 MN과 같지 않다.
καθʼ ἓν ἄρα μόνον διαιρεῖται.
따라서 이항선이 서로 다른 점에서 분할된 셈이 되는데, 이는 불합리하다. 그러므로 이중미디얼제곱가진선은 서로 다른 점에서 분할되지 않는다. 따라서 오직 한 점에서만 분할된다.