§10.prop1.45ἡ μείζων κατὰ τὸ αὐτὸ μόνον σημεῖον διαιρεῖται.
大公線は同じ点においてのみ分割される。
ἔστω μείζων ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνων ῥητόν, τὸ δʼ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον·
大公線 ΑΒ が Γ において分割されているものとし、その結果 ΑΓ, ΓΒ が平方において通約不能であり、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和を有理に、ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形を中項にするものとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται.
私は、ΑΒ が他の点において分割されることはない、ということを主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον.
実際可能ならば、Δ においても分割されるものとし、その結果 ΑΔ, ΔΒ も平方において通約不能であり、ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和を有理に、それらによって囲まれる矩形を中項にするものとせよ。
καὶ ἐπεί, ᾧ διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφέρει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ὑπερέχει ῥητῷ·
そして、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和が ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和と異なるその差によって、２倍の ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形もまた、２倍の ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形と異なるのであるが、ところで、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和は、ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和を有理量によって超過している。
ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα·
なぜなら、両者は有理だからである。
καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ μέσα ὄντα·
したがって、２倍の ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形も、２倍の ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形を、中項でありながら、有理量によって超過することになる。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἡ μείζων κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται·
それゆえ、大公線が異なる点において分割されることはない。
κατὰ τὸ αὐτὸ ἄρα μόνον διαιρεῖται·
したがって、同じ点においてのみ分割される。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop1.46ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη καθʼ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται.
有理中項平方可尽線は、ただ1つの点においてのみ分割される。
ἔστω ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ῥητόν·
有理中項平方可尽線 ΑΒ が Γ において分割されているものとし、その結果 ΑΓ, ΓΒ が平方において通約不能であり、 ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和を中項に、２倍の ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形を有理にするものとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται.
私は、ΑΒ が他の点において分割されることはない、ということを主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν.
実際可能ならば、Δ においても分割されるものとし、その結果 ΑΔ, ΔΒ も平方において通約不能であり、 ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和を中項に、２倍の ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形を有理にするものとせよ。
ἐπεὶ οὖν, ᾧ διαφέρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφέρει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ὑπερέχει ῥητῷ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ μέσα ὄντα·
それゆえ、２倍の ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形が、２倍の ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形と異なるその差によって、ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和も、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和と異なるのであるが、ところで、２倍の ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形は、２倍の ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形を有理量によって超過しており、したがって、ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和も、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和を、中項でありながら、有理量によって超過することになる。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται.
それゆえ、有理中項平方可尽線が異なる点において分割されることはない。
κατὰ ἓν ἄρα σημεῖον διαιρεῖται·
したがって、ただ1つの点においてのみ分割される。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop1.47ἡ δύο μέσα δυναμένη καθʼ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται.
二中項平方可尽線は、ただ1つの点においてのみ分割される。
ἔστω ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν.
ΑΒ が Γ において分割されているものとし、その結果 ΑΓ, ΓΒ が平方において通約不能であり、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和を中項にし、また ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形を中項にし、さらにそれらの上の正方形の和と通約不能であるようにせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται ποιοῦσα τὰ προκείμενα.
私は、ΑΒ が、前述の条件を満たしながら、他の点において分割されることはない、ということを主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω κατὰ τὸ Δ, ὥστε πάλιν δηλονότι τὴν ΑΓ τῇ ΔΒ μὴ εἶναι τὴν αὐτήν, ἀλλὰ μείζονα καθʼ ὑπόθεσιν τὴν ΑΓ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΕΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΘΚ·
実際可能ならば、Δ において分割されるものとし、その結果再び明らかに ΑΓ は ΔΒ と同じではなく、仮定により ΑΓ の方が大きいものとせよ。
ὅλον ἄρα τὸ ΕΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ.
そして、有理直線 ΕΖ が設定されているものとし、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和に等しい ΕΗ を ΕΖ にあてがって作り、２倍の ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形に等しい ΘΚ をあてがって作るものとせよ。
πάλιν δὴ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον τὸ ΕΛ·
したがって、全体の ΕΚ は ΑΒ の上の正方形に等しい。
λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ λοιπῷ τῷ ΜΚ ἴσον ἐστίν.
再びまさに、ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和に等しい ΕΛ を ΕΖ にあてがって作るものとせよ。
καὶ ἐπεὶ μέσον ὑπόκειται τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται·
すると、残りの、２倍の ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形は、残りの ΜΚ に等しい。 そして、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和は中項であると仮定されているから、ΕΗ も中項である。 そして、それは有理直線 ΕΖ にあてがわれている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΕ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
したがって、ΘΕ は有理直線であり、ΕΖ と長さにおいて通約不能である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΝ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
同じ理由によってまさに、ΘΝ も有理直線であり、 ΕΖ と長さにおいて通約不能である。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ τὸ ΕΗ ἄρα τῷ ΗΝ ἀσύμμετρόν ἐστιν·
そして、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和は、２倍の ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形と通約不能であるから、ΕΗ も ΗΝ と通約不能である。
ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΝ ἀσύμμετρός ἐστιν.
その結果、ΕΘ も ΘΝ と通約不能である。
καί εἰσι ῥηταί·
そして、それらは有理直線である。
αἱ ΕΘ, ΘΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、ΕΘ, ΘΝ は平方においてのみ通約可能な有理直線である。
ἡ ΕΝ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ διῃρημένη κατὰ τὸ Θ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ κατὰ τὸ Μ διῄρηται.
それゆえ、ΕΝ は二名線であり、Θ において分割されている。 同じようにまさに、それは Μ においても分割されている、ということが示されるであろう。
καὶ οὐκ ἔστιν ἡ ΕΘ τῇ ΜΝ ἡ αὐτή·
また、ΕΘ は ΜΝ と同じではない。
ἡ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διῄρηται· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον.
したがって、二名線が異なる点において分割されていることになるが、これは不条理である。
οὐκ ἄρα ἡ δύο μέσα δυναμένη κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται·
それゆえ、二中項平方可尽線が異なる点において分割されることはない。
καθʼ ἓν ἄρα μόνον διαιρεῖται.
したがって、ただ1つの点においてのみ分割される。