§10.prop1.42ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων κατὰ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται εἰς τὰ ὀνόματα.
二项线仅在唯一一个点上分割为它的项。
ἔστω ἐκ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Γ· αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
设已将二项线 AB 在 C 点分割为它的项；因此 AC、CB 是仅在平方上共测的有理线。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται εἰς δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους.
我指，AB 无法在另一个点上分割为两条仅在平方上共测的有理线。
εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ ῥητὰς εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους.
因为如果可能，设它也在 D 点被分割，使得 AD、DB 也是仅在平方上共测的有理线。
φανερὸν δή, ὅτι ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή.
那么显然，AC 与 DB 不是同一条线。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω.
因为如果可能，设它是。
ἔσται δὴ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΓΒ ἡ αὐτή· καὶ ἔσται ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, καὶ ἔσται ἡ ΑΒ κατὰ τὸ αὐτὸ τῇ κατὰ τὸ Γ διαιρέσει διαιρεθεῖσα καὶ κατὰ τὸ Δ· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.
那么 AD 也将与 CB 是同一条线；且正如 AC 比 CB，BD 也比 DA，且 AB 在 D 点的分割将与在 C 点的分割相同；但这不是所假设的。
οὐκ ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ ἐστιν ἡ αὐτή.
因此 AC 与 DB 不是同一条线。
διὰ δὴ τοῦτο καὶ τὰ Γ, Δ σημεῖα οὐκ ἴσον ἀπέχουσι τῆς διχοτομίας.
因此由于这个原因，点 C、D 距离平分点不相等。
ᾧ ἄρα διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφέρει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διὰ τὸ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσα εἶναι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ διαφέρει ῥητῷ·
因此，AC、CB 上的正方形之和与 AD、DB 上的正方形之和相差多少，两倍的由 AD、DB 包围的矩形也与两倍的由 AC、 CB 包围的矩形相差多少，因为 AC、CB 上的正方形之和与两倍的由 AC、CB 包围的矩形之和，以及 AD、DB 上的正方形之和与两倍的由 AD、DB 包围的矩形之和，都等于 AB 上的正方形。
ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα·
但是 AC、CB 上的正方形之和与 AD、DB 上的正方形之和相差一个有理面积；因为两者都是有理的。
καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διαφέρει ῥητῷ μέσα ὄντα· ὅπερ ἄτοπον· μέσον γὰρ μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ.
因此，两倍的由 AD、DB 包围的矩形也与两倍的由 AC、CB 包围的矩形相差一个有理面积，尽管它们都是中项的；这是荒谬的；因为中项面积在超出另一个中项面积时不能相差一个有理面积。
οὐκ ἄρα ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται· καθʼ ἓν ἄρα μόνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，二项线不能在不同的点上被分割；因此仅在唯一一个点上；这正是所要证明的。
§10.prop1.43ἡ ἐκ δύο μέσων πρώτη καθʼ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται.
第一二中项线仅在唯一一个点上被分割。
ἔστω ἐκ δύο μέσων πρώτη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας·
设已将第一二中项线 AB 在 C 点分割，使得 AC、CB 是仅在平方上通约、包围一个有理面积的中项线。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται.
我指，AB 无法在另一个点上分割。
εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας.
因为如果可能，设它也在 D 点被分割，使得 AD、DB 也是仅在平方上通测、包围一个有理面积的中项线。
ἐπεὶ οὖν, ᾧ διαφέρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ῥητῷ δὲ διαφέρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα· ῥητῷ ἄρα διαφέρει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μέσα ὄντα· ὅπερ ἄτοπον.
因此既然，两倍的由 AD、DB 包围的矩形与两倍的由 AC、CB 包围的矩形相差多少，AC、CB 上的正方形之和也与 AD、DB 上的正方形之和相差多少，而两倍的由 AD、DB 包围的矩形与两倍的由 AC、CB 包围的矩形相差一个有理面积，因为两者都是有理的；因此 AC、CB 上的正方形之和也与 AD、DB 上的正方形之和相差一个有理面积，尽管它们都是中项的；这是荒谬的。
οὐκ ἄρα ἡ ἐκ δύο μέσων πρώτη κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται εἰς τὰ ὀνόματα· καθʼ ἓν ἄρα μόνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，第一二中项线不能在不同的点上分割为其项；因此仅在唯一一个点上；这正是所要证明的。