§10.prop1.44ἡ ἐκ μέσων δευτέρα καθʼ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται.
第二二中項線はただ1つの点においてのみ分割される。
ἔστω ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περιεχούσας·
第二二中項線 ΑΒ が Γ において分割されているものとし、その結果 ΑΓ, ΓΒ が平方においてのみ通約可能であり中項［の面積］を囲む中項直線であるものとせよ。
φανερὸν δή, ὅτι τὸ Γ οὐκ ἔστι κατὰ τῆς διχοτομίας, ὅτι οὐκ εἰσὶ μήκει σύμμετροι.
すると、Γ が二等分点にはないことは明らかである。 なぜなら、それら［ΑΓ, ΓΒ］が長さにおいて通約可能ではないからである。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται.
私は、ΑΒ が他の点において分割されることはない、ということを主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε τὴν ΑΓ τῇ ΔΒ μὴ εἶναι τὴν αὐτήν, ἀλλὰ μείζονα καθʼ ὑπόθεσιν τὴν ΑΓ·
実際可能ならば、Δ においても分割されるものとし、その結果 ΑΓ は ΔΒ と同じではなく、仮定により ΑΓ の方が大きいものとせよ。
δῆλον δή, ὅτι καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ὡς ἐπάνω ἐδείξαμεν, ἐλάσσονα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
すると、ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和もまた、上で示したように、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和よりも小さいことは明らかである。
καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περιεχούσας.
そして、ΑΔ, ΔΒ も平方においてのみ通約可能であり中項［の面積］を囲む中項直線であるものとせよ。
καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον παραβεβλήσθω τὸ ΕΚ, τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΕΗ·
そして、有理直線 ΕΖ が設定されているものとし、ΑΒ の上の正方形に等しい直角平行四辺形 ΕΚ を ΕΖ にあてがって作り、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和に等しい［直角平行四辺形］ ΕΗ を切り取るものとせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΚ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. πάλιν δὴ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ἅπερ ἐλάσσονα ἐδείχθη τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΕΛ·
したがって、残りの ΘΚ は、２倍の ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形に等しい。 再びまさに、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和よりも小さいことが示された ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和に等しい［直角平行四辺形］ ΕΛ を切り取るものとせよ。
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΜΚ ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ μέσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μέσον ἄρα τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται·
すると、残りの ΜΚ もまた、２倍の ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形に等しい。 そして、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和は中項であるから、 ΕΗ も中項である。 そして、それは有理直線 ΕΖ にあてがわれている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
したがって、ΕΘ は有理直線であり、ΕΖ と長さにおいて通約不能である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΝ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
まさに同じ理由によって、ΘΝ も有理直線であり、ΕΖ と長さにおいて通約不能である。
καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μήκει.
そして、ΑΓ, ΓΒ は平方においてのみ通約可能な中項直線であるから、ΑΓ は ΓΒ と長さにおいて通約不能である。
ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
ところで、ΑΓ と ΓΒ の比は、ΑΓ の上の正方形と、ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形との比と同じである。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
したがって、ΑΓ の上の正方形は、ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形と通約不能である。 ところで、ΑΓ の上の正方形は、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和と通約可能である。
δυνάμει γάρ εἰσι σύμμετροι αἱ ΑΓ, ΓΒ. τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἄρα ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΘΚ·
なぜなら、ΑΓ, ΓΒ は平方において通約可能だからである。 また、ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形は、２倍の ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形と通約可能である。 したがって、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和もまた、２倍の ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形と通約不能である。 ところで、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和は ΕΗ に等しく、２倍の ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形は ΘΚ に等しい。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΚ·
したがって、ΕΗ は ΘΚ と通約不能である。
ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΝ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει.
その結果、ΕΘ も ΘΝ と長さにおいて通約不能である。
καί εἰσι ῥηταί·
そして、それらは有理直線である。
αἱ ΕΘ, ΘΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
したがって、ΕΘ, ΘΝ は平方においてのみ通約可能な有理直線である。
ἐὰν δὲ δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσιν, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων·
ところで、平方においてのみ通約可能な2つの有理直線が合わされるならば、全体は、二名線と呼ばれる無理直線となる。
ἡ ΕΝ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ διῃρημένη κατὰ τὸ Θ. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ δειχθήσονται καὶ αἱ ΕΜ, ΜΝ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、ΕΝ は二名線であり、Θ において分割されている。 同じ方法によってまさに、 ΕΜ, ΜΝ も平方においてのみ通約可能な有理直線であることが示されるであろう。
καὶ ἔσται ἡ ΕΝ ἐκ δύο ὀνομάτων κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο διῃρημένη τό τε Θ καὶ τὸ Μ, καὶ οὐκ ἔστιν ἡ ΕΘ τῇ ΜΝ ἡ αὐτή, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ·
そして、二名線 ΕΝ は、異なる点である Θ と Μ の双方において分割されることになり、また、ΕΘ は ΜΝ と同じではない。 なぜなら、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和は、ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和よりも大きいからである。 ところで、ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和は、２倍の ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形よりも大きい。
πολλῷ ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ΕΗ, μεῖζόν ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τουτέστι τοῦ ΜΚ·
したがって、はるかにいっそう、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和、すなわち ΕΗ は、２倍の ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形、すなわち ΜΚ よりも大きい。
ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῆς ΜΝ μείζων ἐστίν.
その結果、ΕΘ も ΜΝ より大きい。
ἡ ἄρα ΕΘ τῇ ΜΝ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή·
したがって、ΕΘ は ΜΝ と同じではない。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。