§10.prop1.44ἡ ἐκ μέσων δευτέρα καθʼ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται.
제이 이중중항선은 오직 한 점에서만 분할된다.
ἔστω ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περιεχούσας·
제이 이중중항선 AB가 C에서 분할되어 있다고 하고, 따라서 AC, CB는 제곱에서만 통약할 수 있고 미디얼인 넓이를 둘러싸는 미디얼직선이라 하자.
φανερὸν δή, ὅτι τὸ Γ οὐκ ἔστι κατὰ τῆς διχοτομίας, ὅτι οὐκ εἰσὶ μήκει σύμμετροι.
그렇다면 C가 이등분점에 있지 않음은 분명하다. 왜냐하면 그것들은 길이에서 통약할 수 없기 때문이다.
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται.
나는 AB가 다른 점에서는 분할되지 않음을 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε τὴν ΑΓ τῇ ΔΒ μὴ εἶναι τὴν αὐτήν, ἀλλὰ μείζονα καθʼ ὑπόθεσιν τὴν ΑΓ·
왜냐하면 가능하다면 D에서도 분할된다고 하여 AC가 DB와 같은 직선이 아니며, 가정에 의해 AC가 더 크다고 하자.
δῆλον δή, ὅτι καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ὡς ἐπάνω ἐδείξαμεν, ἐλάσσονα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
그렇다면 AD, DB 위의 정사각형들의 합 역시, 위에서 보여준 바와 같이, AC, CB 위의 정사각형들의 합보다 작음이 분명하다.
καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περιεχούσας.
그리고 AD, DB 역시 제곱에서만 통약할 수 있고 미디얼인 넓이를 둘러싸는 미디얼직선이라 하자.
καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον παραβεβλήσθω τὸ ΕΚ, τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΕΗ·
그리고 유리직선 EF가 설정되어 있다고 하고, AB 위의 정사각형과 같은 직각평행사변형 EK를 EF에 대어 작도하고, AC, CB 위의 정사각형들의 합과 같은 EH를 잘라낸다고 하자.
λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΚ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. πάλιν δὴ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ἅπερ ἐλάσσονα ἐδείχθη τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΕΛ·
따라서 남은 HK는 두 배의 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다. 다시, AC, CB 위의 정사각형들의 합보다 작음이 증명된 AD, DB 위의 정사각형들의 합과 같은 EL을 잘라낸다고 하자.
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΜΚ ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ μέσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μέσον ἄρα τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται·
그렇다면 남은 MK 역시 두 배의 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다. 그리고 AC, CB 위의 정사각형들의 합은 미디얼이므로, EH 역시 미디얼이다. 그리고 그것은 유리직선 EF에 대어 만들어졌다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
따라서 EG는 유리직선이며, EF와 길이에서 통약할 수 없다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΝ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
그러므로 같은 이유 때문에 GN 역시 유리직선이며, EF와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μήκει.
그리고 AC, CB는 제곱에서만 통약할 수 있는 미디얼직선이므로, AC는 CB와 길이에서 통약할 수 없다.
ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
그런데 AC 대 CB의 비는 AC 위의 정사각형 대 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형의 비와 같다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
따라서 AC 위의 정사각형은 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없다. 그런데 AC 위의 정사각형은 AC, CB 위의 정사각형들의 합과 통약할 수 있다.
δυνάμει γάρ εἰσι σύμμετροι αἱ ΑΓ, ΓΒ. τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἄρα ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΘΚ·
왜냐하면 AC, CB는 제곱에서 통약할 수 있기 때문이다. 또한 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형은 두 배의 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 있다. 따라서 AC, CB 위의 정사각형들의 합 역시 두 배의 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없다. 그런데 EH는 AC, CB 위의 정사각형들의 합과 같고, HK는 두 배의 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΚ·
따라서 EH는 HK와 통약할 수 없다.
ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΝ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει.
그 결과 EG 역시 GN과 길이에서 통약할 수 없다.
καί εἰσι ῥηταί·
그리고 그것들은 유리직선이다.
αἱ ΕΘ, ΘΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
따라서 EG, GN은 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선이다.
ἐὰν δὲ δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσιν, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων·
그런데 제곱에서만 통약할 수 있는 두 유리직선이 더해지면, 전체는 이항선이라 불리는 무리직선이 된다.
ἡ ΕΝ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ διῃρημένη κατὰ τὸ Θ. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ δειχθήσονται καὶ αἱ ΕΜ, ΜΝ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι·
따라서 EN은 이항선이며, G에서 분할되어 있다. 같은 방법으로, EM, MN 역시 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선임이 증명될 것이다.
καὶ ἔσται ἡ ΕΝ ἐκ δύο ὀνομάτων κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο διῃρημένη τό τε Θ καὶ τὸ Μ, καὶ οὐκ ἔστιν ἡ ΕΘ τῇ ΜΝ ἡ αὐτή, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ·
그리고 이항선인 EN은 서로 다른 점인 G와 M 모두에서 분할될 것이며, 또한 EG는 MN과 같지 않다. 왜냐하면 AC, CB 위의 정사각형들의 합은 AD, DB 위의 정사각형들의 합보다 크기 때문이다.
πολλῷ ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ΕΗ, μεῖζόν ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τουτέστι τοῦ ΜΚ·
그런데 AD, DB 위의 정사각형들의 합은 두 배의 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형보다 크다.
ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῆς ΜΝ μείζων ἐστίν.
따라서 훨씬 더더욱 AC, CB 위의 정사각형들의 합(즉 EH)은 두 배의 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형(즉 MK)보다 크다. 그 결과 EG 역시 MN보다 크다.
ἡ ἄρα ΕΘ τῇ ΜΝ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή·
따라서 EG는 MN과 같지 않다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.