§10.prop1.42ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων κατὰ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται εἰς τὰ ὀνόματα.
二名線はただ1つの点においてのみ、その項へと分割される。
ἔστω ἐκ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Γ·
二名線 ΑΒ が Γ においてその項へと分割されているものとせよ。
αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
したがって、ΑΓ, ΓΒ は平方においてのみ通約可能な有理直線である。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται εἰς δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους.
私は、ΑΒ が他の点において、平方においてのみ通約可能な2つの有理直線へと分割されることはない、ということを主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ ῥητὰς εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους.
実際可能ならば、Δ においても分割されるものとし、その結果 ΑΔ, ΔΒ も平方においてのみ通約可能な有理直線であるものとせよ。
φανερὸν δή, ὅτι ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή.
すると、ΑΓ が ΔΒ と同じ［直線］ではないことは明らかである。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω.
実際可能ならば、同じであるとせよ。
ἔσται δὴ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΓΒ ἡ αὐτή· καὶ ἔσται ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, καὶ ἔσται ἡ ΑΒ κατὰ τὸ αὐτὸ τῇ κατὰ τὸ Γ διαιρέσει διαιρεθεῖσα καὶ κατὰ τὸ Δ·
すると、ΑΔ も ΓΒ と同じになり、ΑΓ と ΓΒ の比は、ΒΔ と ΔΑ の比と同じになり、ΑΒ は Γ における分割と同じ分割によって Δ においても分割されることになるが、これは仮定されていない。
ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. οὐκ ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ ἐστιν ἡ αὐτή.
したがって、ΑΓ は ΔΒ と同じ［直線］ではない。
διὰ δὴ τοῦτο καὶ τὰ Γ, Δ σημεῖα οὐκ ἴσον ἀπέχουσι τῆς διχοτομίας.
それゆえまさにこのことから、点 Γ, Δ は二等分点から等しい距離にはない。
ᾧ ἄρα διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφέρει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διὰ τὸ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσα εἶναι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ διαφέρει ῥητῷ·
それゆえ、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和が ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和と異なるその差によって、２倍の ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形もまた、２倍の ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形と異なる。 なぜなら、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和に２倍の ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形を加えたものと、ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和に２倍の ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形を加えたものの双方が、ΑΒ の上の正方形に等しいからである。 ところで、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和は、ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和と有理［の面積］だけ異なる。
ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα·
なぜなら、双方とも有理だからである。
καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διαφέρει ῥητῷ μέσα ὄντα·
したがって、２倍の ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形もまた、２倍の ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形と、中項［の面積］でありながら有理［の面積］だけ異なる。
ὅπερ ἄτοπον·
これは不合理である。
μέσον γὰρ μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ.
なぜなら、中項は中項を、有理［の面積］だけ超過することはないからである。
οὐκ ἄρα ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται·
したがって、二名線は異なる点において分割されることはない。
καθʼ ἓν ἄρα μόνον·
それゆえ、ただ1つの点においてのみ［分割される］。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop1.43ἡ ἐκ δύο μέσων πρώτη καθʼ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται.
第一二中項線はただ1つの点においてのみ分割される。
ἔστω ἐκ δύο μέσων πρώτη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας·
第一二中項線 ΑΒ が Γ において分割されているものとし、その結果 ΑΓ, ΓΒ が平方においてのみ通約可能であり有理な［面積］を囲む中項直線であるものとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται.
私は、ΑΒ が他の点において分割されることはない、ということを主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας.
実際可能ならば、Δ においても分割されるものとし、その結果 ΑΔ, ΔΒ も平方においてのみ通約可能であり有理な［面積］を囲む中項直線であるものとせよ。
ἐπεὶ οὖν, ᾧ διαφέρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ῥητῷ δὲ διαφέρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
さて、２倍の ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形が、２倍の ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形と異なるその差によって、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和もまた ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和と異なる。
ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα·
ところで、２倍の ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形は、２倍の ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形と有理［の面積］だけ異なる。
ῥητῷ ἄρα διαφέρει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μέσα ὄντα·
なぜなら、双方とも有理だからである。 したがって、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和もまた、ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和と、中項［の面積］でありながら有理［の面積］だけ異なる。
ὅπερ ἄτοπον.
これは不合理である。
οὐκ ἄρα ἡ ἐκ δύο μέσων πρώτη κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται εἰς τὰ ὀνόματα·
したがって、第一二中項線は異なる点においてその項へと分割されることはない。
καθʼ ἓν ἄρα μόνον·
それゆえ、ただ1つの点においてのみ［分割される］。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。