§10.prop1.42ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων κατὰ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται εἰς τὰ ὀνόματα.
이항선은 오직 한 점에서만 그것의 항들로 분할된다.
ἔστω ἐκ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Γ·
이항선 AB가 C에서 그것의 항들로 분할되어 있다고 하자.
αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
따라서 AC, CB는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선이다.
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται εἰς δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους.
나는 AB가 다른 점에서는 제곱에서만 통약할 수 있는 두 유리직선으로 분할되지 않음을 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ ῥητὰς εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους.
왜냐하면 가능하다면 D에서도 분할된다고 하여 AD, DB 역시 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선이라 하자.
φανερὸν δή, ὅτι ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή.
그렇다면 AC가 DB 와 같은 직선이 아님은 분명하다.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω.
왜냐하면 가능하다면 그렇다고 하자.
ἔσται δὴ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΓΒ ἡ αὐτή·
그러면 AD 역시 CB와 같게 될 것이다.
καὶ ἔσται ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, καὶ ἔσται ἡ ΑΒ κατὰ τὸ αὐτὸ τῇ κατὰ τὸ Γ διαιρέσει διαιρεθεῖσα καὶ κατὰ τὸ Δ·
그리고 AC 대 CB의 비는 BD 대 DA의 비와 같게 되어, AB는 C에서의 분할과 똑같은 분할에 의해 D에서도 분할될 것이나, 이는 가정되지 않았다.
ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. οὐκ ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ ἐστιν ἡ αὐτή.
따라서 AC는 DB와 같은 직선이 아니다.
διὰ δὴ τοῦτο καὶ τὰ Γ, Δ σημεῖα οὐκ ἴσον ἀπέχουσι τῆς διχοτομίας.
그러므로 바로 이 이유 때문에 점 C, D는 이등분점으로부터 같은 거리에 있지 않다.
ᾧ ἄρα διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφέρει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διὰ τὸ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσα εἶναι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ διαφέρει ῥητῷ·
따라서 AC, CB 위의 정사각형들의 합이 AD, DB 위의 정사각형들의 합과 차이가 나는 만큼, 두 배의 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 두 배의 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형과 차이가 난다. 왜냐하면 AC, CB 위의 정사각형들의 합에 두 배의 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형을 더한 것과, AD, DB 위의 정사각형들의 합에 두 배의 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형을 더한 것 모두 AB 위의 정사각형과 같기 때문이다. 그런데 AC, CB 위의 정사각형들의 합은 AD, DB 위의 정사각형들의 합과 유리적 넓이만큼 차이가 난다.
ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα·
왜냐하면 둘 다 유리적이기 때문이다.
καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διαφέρει ῥητῷ μέσα ὄντα·
따라서 두 배의 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 두 배의 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형과 유리적 넓이만큼 차이가 난다, 그것들이 미디얼임에도 불구하고.
ὅπερ ἄτοπον·
이는 터무니없다.
μέσον γὰρ μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ.
왜냐하면 미디얼인 넓이는 미디얼인 넓이를 유리적 넓이만큼 초과하지 못하기 때문이다.
οὐκ ἄρα ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται·
그러므로 이항선은 서로 다른 점에서 분할되지 않는다.
καθʼ ἓν ἄρα μόνον·
따라서 오직 한 점에서만 분할된다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
§10.prop1.43ἡ ἐκ δύο μέσων πρώτη καθʼ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται.
제일 이중중항선은 오직 한 점에서만 분할된다.
ἔστω ἐκ δύο μέσων πρώτη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας·
제일 이중중항선 AB가 C에서 분할되어 있다고 하고, 따라서 AC, CB는 제곱에서만 통약할 수 있고 유리적 넓이를 둘러싸는 미디얼직선이라 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται.
나는 AB가 다른 점에서는 분할되지 않음을 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας.
왜냐하면 가능하다면 D에서도 분할된다고 하여 AD, DB 역시 제곱에서만 통약할 수 있고 유리적 넓이를 둘러싸는 미디얼직선이라 하자.
ἐπεὶ οὖν, ᾧ διαφέρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ῥητῷ δὲ διαφέρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
그렇다면, 두 배의 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형이 두 배의 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형과 차이가 나는 만큼, AC, CB 위의 정사각형들의 합 역시 AD, DB 위의 정사각형들의 합과 차이가 난다. 그런데 두 배의 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형은 두 배의 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형과 유리적 넓이만큼 차이가 난다.
ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα·
왜냐하면 둘 다 유리적이기 때문이다.
ῥητῷ ἄρα διαφέρει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μέσα ὄντα·
따라서 AC, CB 위의 정사각형들의 합 역시 AD, DB 위의 정사각형들의 합과 유리적 넓이만큼 차이가 난다, 그것들이 미디얼임에도 불구하고.
ὅπερ ἄτοπον.
이는 터무니없다.
οὐκ ἄρα ἡ ἐκ δύο μέσων πρώτη κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται εἰς τὰ ὀνόματα·
그러므로 제일 이중중항선은 서로 다른 점에서 그것의 항들로 분할되지 않는다.
καθʼ ἓν ἄρα μόνον·
따라서 오직 한 점에서만 분할된다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.