§10.prop1.3δύο μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
给定两个可通约的量，求它们的最大公度。
ἔστω τὰ δοθέντα δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ ΑΒ, ΓΔ, ὧν ἔλασσον τὸ ΑΒ·
设给定的两个可通约的量为 ΑΒ 和 ΓΔ，其中较小者为 ΑΒ。
δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
我们需要求 ΑΒ 和 ΓΔ 的最大公度。
τὸ ΑΒ γὰρ μέγεθος ἤτοι μετρεῖ τὸ ΓΔ ἢ οὔ.
因为量 ΑΒ 要么整除 ΓΔ，要么不整除。
εἰ μὲν οὖν μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτό, τὸ ΑΒ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν·
如果它整除 ΓΔ，而它也整除自身，那么 ΑΒ 就是 ΑΒ 和 ΓΔ 的公度。
καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον.
并且显而易见，它也是最大的公度。
μεῖζον γὰρ τοῦ ΑΒ μεγέθους τὸ ΑΒ οὐ μετρήσει.
因为大于量 ΑΒ 的量是不会整除 ΑΒ 的。
μὴ μετρείτω δὴ τὸ ΑΒ τὸ ΓΔ. καὶ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος, τὸ περιλειπόμενον μετρήσει ποτὲ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ διὰ τὸ μὴ εἶναι ἀσύμμετρα τὰ ΑΒ, ΓΔ·
设 ΑΒ 不整除 ΓΔ。 并且不断从较大者中减去较小者，由于 ΑΒ 和 ΓΔ 不是不可通约的，余下的量终将有一次整除其前一个量。
καὶ τὸ μὲν ΑΒ τὸ ΕΔ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΕΓ, τὸ δὲ ΕΓ τὸ ΖΒ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΑΖ, τὸ δὲ ΑΖ τὸ ΓΕ μετρείτω.
设 ΑΒ 整除 ΕΔ，留下小于其自身的 ΕΓ，而 ΕΓ 整除 ΖΒ，留下小于其自身的 ΑΖ，并设 ΑΖ 整除 ΓΕ。
ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΖ τὸ ΓΕ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΓΕ τὸ ΖΒ μετρεῖ, καὶ τὸ ΑΖ ἄρα τὸ ΖΒ μετρήσει.
因为 ΑΖ 整除 ΓΕ，而 ΓΕ 整除 ΖΒ，所以 ΑΖ 也将整除 ΖΒ。
μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτό· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΒ μετρήσει τὸ ΑΖ. ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΔΕ μετρεῖ·
但它也整除自身，所以 ΑΖ 也将整除整个 ΑΒ。
καὶ τὸ ΑΖ ἄρα τὸ ΕΔ μετρήσει.
但 ΑΒ 整除 ΔΕ，所以 ΑΖ 也将整除 ΕΔ。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΓΕ· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΓΔ μετρεῖ·
但它也整除 ΓΕ，所以它也整除整个 ΓΔ。
τὸ ΑΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν.
因此，ΑΖ 是 ΑΒ 和 ΓΔ 的公度。
λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον.
我说，它也是最大的。
εἰ γὰρ μή, ἔσται τι μέγεθος μεῖζον τοῦ ΑΖ, ὃ μετρήσει τὰ ΑΒ, ΓΔ. ἔστω τὸ Η. ἐπεὶ οὖν τὸ Η τὸ ΑΒ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΕΔ μετρεῖ, καὶ τὸ Η ἄρα τὸ ΕΔ μετρήσει.
因为，如果不是这样，就会有某个大于 ΑΖ 的量整除 ΑΒ 和 ΓΔ。 设它为 Η。 因为 Η 整除 ΑΒ，而 ΑΒ 整除 ΕΔ，所以 Η 也将整除 ΕΔ。
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΓΔ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΓΕ μετρήσει τὸ Η. ἀλλὰ τὸ ΓΕ τὸ ΖΒ μετρεῖ· καὶ τὸ Η ἄρα τὸ ΖΒ μετρήσει.
但它也整除整个 ΓΔ，所以 Η 也将整除余下的 ΓΕ。 但 ΓΕ 整除 ΖΒ，所以 Η 也将整除 ΖΒ。
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒ, καὶ λοιπὸν τὸ ΑΖ μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον·
但它也整除整个 ΑΒ，所以它也将整除余下的 ΑΖ，即较大者整除较小者。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
这是不可能的。
οὐκ ἄρα μεῖζόν τι μέγεθος τοῦ ΑΖ τὰ ΑΒ, ΓΔ μετρήσει·
因此，没有任何大于 ΑΖ 的量能整除 ΑΒ 和 ΓΔ。
τὸ ΑΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστίν.
所以，ΑΖ 是 ΑΒ 和 ΓΔ 的最大公度。
δύο ἄρα μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ηὕρηται·
因此，给定的两个可通约的量 ΑΒ 和 ΓΔ 的最大公度已被求得。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν μέγεθος δύο μεγέθη μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει.
系由此显而易见，如果一个量整除两个量，它也将整除它们的最大公度。