§10.prop1.38ἐὰν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι μέσον περιέχουσαι, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων δευτέρα.
如果将两条仅在平方上共测且包围一个中项面积的中项线相加，则整条线是无理的，且设它被称为第二二中项线。
Συγκείσθωσαν γὰρ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ μέσον περιέχουσαι· λέγω, ὅτι ἄλογός ἐστιν ἡ ΑΓ.
Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, παραβεβλήσθω δὴ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ παρὰ τὴν ΔΕ ἴσον τὸ ΕΘ·
实际，设已将两条仅在平方上共测且包围一个中项面积的中项线 AB、BC 相加；我指，AC 是无理的。 实际，设已给有理线 DE，且对 DE 贴合等于 AC 上正方形的矩形 DZ，产生宽度 DH。 又由于在 AC 上的正方形等于在 AB、BC 上的正方形之和与两倍的由 AB、BC 包围的矩形之和，因此对 DE 贴合等于在 AB、BC 上的正方形之和的矩形 ETh。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΖ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καὶ ἐπεὶ μέση ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΒΓ, μέσα ἄρα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. μέσον δὲ ὑπόκειται καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΕΘ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΖΘ·
从而余下的矩形 ThZ 等于两倍的由 AB、BC 包围的矩形。 又由于 AB、BC 各自是中项线，因此在 AB、BC 上的正方形也是中项的。 而两倍的由 AB、BC 包围的矩形按假设也是中项的。 且矩形 ETh 等于在 AB、BC 上的正方形之和，而矩形 ZTh 等于两倍的由 AB、BC 包围的矩形。
μέσον ἄρα ἑκάτερον τῶν ΕΘ, ΘΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΘ, ΘΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
因此 ETh、ThZ 各自是中项的。 且它们贴合于有理线 DE；因此 DTh、ThH 各自是有理线，且在长度上与 DE 不共测。
ἐπεὶ οὖν ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ σύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΘ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ΘΖ. ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΘ τῷ ΘΖ· ὥστε καὶ ἡ ΔΘ τῇ ΘΗ ἐστιν ἀσύμμετρος μήκει.
那么，由于 AB 在长度上与 BC 不共测，且由于 AB 与 BC 的比等于 AB 上的正方形与由 AB、BC 包围的矩形的比，因此 AB 上的正方形与由 AB、BC 包围的矩形不共测。 然而，AB 上的正方形与 AB、BC 上的正方形之和共测，而由 AB、BC 包围的矩形与两倍的由 AB、BC 包围的矩形共测。 因此 AB、BC 上的正方形之和与两倍的由 AB、BC 包围的矩形不共测。 然而，ETh 等于 AB、BC 上的正方形之和，而 ThZ 等于两倍的由 AB、BC 包围的矩形。 因此 ETh 与 ThZ 不共测；所以 DTh 也与 ThH 在长度上不共测。
αἱ ΔΘ, ΘΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
因此 DTh、ThH 是仅在平方上共测的有理线。
ὥστε ἡ ΔΗ ἄλογός ἐστιν.
所以 DH 是无理的。
ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ· τὸ δὲ ὑπὸ ἀλόγου καὶ ῥητῆς περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν· ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΖ χωρίον, καὶ ἡ δυναμένη ἄλογός ἐστιν.
而 DE 是有理的；且由无理线与有理线包围的矩形是无理的；因此区域 DZ 是无理的，而其等幂线也是无理的。
δύναται δὲ τὸ ΔΖ ἡ ΑΓ· ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων δευτέρα. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而 AC 等幂于 DZ；因此 AC 是无理的，且设它被称为第二二中项线；这正是所要证明的。
§10.prop1.39ἐὰν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μείζων.
如果将两条在平方上不共测的线相加，使得它们上的正方形之和为有理的，而由它们包围的矩形为中项的，则整条直线是无理的，且设它被称为大线。
Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκείμενα· λέγω, ὅτι ἄλογός ἐστιν ἡ ΑΓ.
ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν, καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν.
因为设已将两条在平方上不共测的线 AB、BC 相加，使得满足上述条件；我指，AC 是无理的。 因为由于由 AB、BC 包围的矩形是中项的，两倍的由 AB、BC 包围的矩形也是中项的。
τὸ δὲ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ὥστε καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
而在 AB、BC 上的正方形之和是有理的；因此两倍的由 AB、BC 包围的矩形与 AB、BC 上的正方形之和不共测；所以将 AB、BC 上的正方形之和与两倍的由 AB、BC 包围的矩形相加，即在 AC 上的正方形，也与 AB、BC 上的正方形之和不共测。
ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ. ὥστε καὶ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μείζων. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此在 AC 上的正方形是无理的。 所以 AC 也是无理的，且设它被称为大线；这正是所要证明的。