§10.prop1.38ἐὰν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι μέσον περιέχουσαι, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων δευτέρα.
もし平方においてのみ通約可能であり中項［の面積］を囲む２つの中項直線が足し合わされるならば、全体［の直線］は無理直線であり、それは第二の二中項線と呼ばれるものとせよ。
Συγκείσθωσαν γὰρ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ μέσον περιέχουσαι·
実際、平方においてのみ通約可能であり中項［の面積］を囲む２つの中項直線 ΑΒ, ΒΓ が足し合わされているものとせよ。
λέγω, ὅτι ἄλογός ἐστιν ἡ ΑΓ.
Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, παραβεβλήσθω δὴ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ παρὰ τὴν ΔΕ ἴσον τὸ ΕΘ·
私は、ΑΓ が無理直線であることを主張する。 実際、有理直線 ΔΕ が設定されるものとし、ΑΓ の上の正方形に等しい［長方形］ΔΖ が ΔΕ に沿ってあてがわれ、幅 ΔΗ をつくるものとせよ。 そして、ΑΓ の上の正方形は ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和と２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形とに等しいから、ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和に等しい［長方形］ΕΘ が ΔΕ に沿ってあてがわれるものとせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΖ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καὶ ἐπεὶ μέση ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΒΓ, μέσα ἄρα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. μέσον δὲ ὑπόκειται καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΕΘ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΖΘ·
したがって、残りの［長方形］ΘΖ は、２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形に等しい。 そして、ΑΒ, ΒΓ のそれぞれは中項直線であるから、したがって ΑΒ, ΒΓ の上の正方形もまた中項である。 ところで、２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形もまた中項であると仮定されている。 そして、ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和に ΕΘ が等しく、２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形に ΖΘ が等しい。
μέσον ἄρα ἑκάτερον τῶν ΕΘ, ΘΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται·
したがって、ΕΘ, ΘΖ のそれぞれは中項である。 そして、［それらは］有理直線 ΔΕ に沿ってあてがわれている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΘ, ΘΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
したがって、ΔΘ, ΘΗ のそれぞれは有理直線であり、かつ ΔΕ と長さにおいて通約不可能である。
ἐπεὶ οὖν ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ σύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΘ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ΘΖ. ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΘ τῷ ΘΖ·
さて、ΑΒ は ΒΓ と長さにおいて通約不可能であり、かつ ΑΒ と ΒΓ の比は、ΑΒ の上の正方形と ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形の比と同じであるから、したがって、ΑΒ の上の正方形は ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形と通約不可能である。 ところで、ΑΒ の上の正方形は ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和と通約可能であり、ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形は２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形と通約可能である。 したがって、ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和は、２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形と通約不可能である。 ところで、ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和に ΕΘ は等しく、２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形に ΘΖ は等しい。 したがって、ΕΘ は ΘΖ と通約不可能である。
ὥστε καὶ ἡ ΔΘ τῇ ΘΗ ἐστιν ἀσύμμετρος μήκει.
それゆえ、ΔΘ もまた ΘΗ と長さにおいて通約不可能である。
αἱ ΔΘ, ΘΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
したがって、ΔΘ, ΘΗ は、平方においてのみ通約可能な有理直線である。
ὥστε ἡ ΔΗ ἄλογός ἐστιν.
それゆえ、ΔΗ は無理直線である。
ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ·
ところで、ΔΕ は有理直線である。
τὸ δὲ ὑπὸ ἀλόγου καὶ ῥητῆς περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν·
そして、無理直線と有理直線によって囲まれる長方形は無理である。
ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΖ χωρίον, καὶ ἡ δυναμένη ἄλογός ἐστιν.
したがって、領域 ΔΖ は無理であり、それを二乗する直線もまた無理である。
δύναται δὲ τὸ ΔΖ ἡ ΑΓ·
ところで、ΑΓ は ΔΖ を二乗する。
ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων δευτέρα.
したがって ΑΓ は無理直線であり、それは第二の二中項線と呼ばれるものとせよ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop1.39ἐὰν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μείζων.
もし平方において通約不可能な２つの直線が、それらの上の正方形の和を有理に、それらによって囲まれる矩形を中項にしつつ、足し合わされるならば、全体［の直線］は無理直線であり、それは大線と呼ばれるものとせよ。
Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκείμενα·
実際、平方において通約不可能であり、上述の条件を満たす２つの直線 ΑΒ, ΒΓ が足し合わされているものとせよ。
λέγω, ὅτι ἄλογός ἐστιν ἡ ΑΓ.
ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν, καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν.
私は、ΑΓ が無理直線であることを主張する。 なぜなら、ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形は中項であるから、２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形もまた中項である。
τὸ δὲ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν·
ところで、ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和は有理である。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
したがって、２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形は、ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和と通約不可能である。
ὥστε καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
それゆえ、ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和に２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形を加えたもの、すなわち ΑΓ の上の正方形もまた、ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和と通約不可能である。
ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ. ὥστε καὶ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μείζων.
したがって、ΑΓ の上の正方形は無理である。 それゆえ ΑΓ もまた無理直線であり、それは大線と呼ばれるものとせよ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。