§10.prop1.38ἐὰν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι μέσον περιέχουσαι, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων δευτέρα.
만일 제곱에서만 통약할 수 있고 미디얼인 넓이를 둘러싸는 두 미디얼 직선이 더해진다면, 전체 직선은 무리적이며, 그것은 제2 이중미디알선이라 불리도록 하자.
Συγκείσθωσαν γὰρ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ μέσον περιέχουσαι·
실제로 제곱에서만 통약할 수 있고 미디얼인 넓이를 둘러싸는 두 미디얼 직선 AB, BC가 더해져 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἄλογός ἐστιν ἡ ΑΓ.
Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, παραβεβλήσθω δὴ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ παρὰ τὴν ΔΕ ἴσον τὸ ΕΘ·
나는 AC가 무리적임을 주장한다. 실제로 유리직선 DE가 주어져 있다고 하고, AC 위의 정사각형과 같은 직사각형 DZ를 DE에 적용하여 폭 DH를 만들도록 하자. 그리고 AC 위의 정사각형은 AB, BC 위의 정사각형들의 합과 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형과 같으므로, AB, BC 위의 정사각형들의 합과 같은 직사각형 ETh를 DE에 적용하도록 하자.
λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΖ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καὶ ἐπεὶ μέση ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΒΓ, μέσα ἄρα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. μέσον δὲ ὑπόκειται καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΕΘ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΖΘ·
따라서 남은 직사각형 ThZ는 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다. 그리고 AB, BC 각각은 미디얼 직선이므로, 따라서 AB, BC 위의 정사각형들 역시 미디얼이다. 그런데 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 가정에 의해 미디얼이다. 그리고 AB, BC 위의 정사각형들의 합에는 ETh가 같고, 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형에는 ZTh가 같다.
μέσον ἄρα ἑκάτερον τῶν ΕΘ, ΘΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται·
따라서 ETh, ThZ 각각은 미디얼이다. 그리고 그것들은 유리직선 DE에 적용되어 있다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΘ, ΘΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
따라서 DTh, ThH 각각은 유리직선이며, DE와 길이에서 통약할 수 없다.
ἐπεὶ οὖν ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ σύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΘ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ΘΖ. ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΘ τῷ ΘΖ·
그러므로 AB가 BC와 길이에서 통약할 수 없고, AB와 BC의 비는 AB 위의 정사각형과 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형의 비와 같으므로, 따라서 AB 위의 정사각형은 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없다. 그런데 AB 위의 정사각형은 AB, BC 위의 정사각형들의 합과 통약할 수 있고, AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형은 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 있다. 따라서 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없다. 그런데 ETh는 AB, BC 위의 정사각형들의 합과 같고, ThZ는 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다. 따라서 ETh는 ThZ와 통약할 수 없다.
ὥστε καὶ ἡ ΔΘ τῇ ΘΗ ἐστιν ἀσύμμετρος μήκει.
그러므로 DTh 역시 ThH와 길이에서 통약할 수 없다.
αἱ ΔΘ, ΘΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
따라서 DTh, ThH는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선이다.
ὥστε ἡ ΔΗ ἄλογός ἐστιν.
그러므로 DH는 무리적이다.
ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ·
그런데 DE는 유리적이다.
τὸ δὲ ὑπὸ ἀλόγου καὶ ῥητῆς περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν·
그리고 무리직선과 유리직선에 의해 둘러싸인 직사각형은 무리적이다.
ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΖ χωρίον, καὶ ἡ δυναμένη ἄλογός ἐστιν.
따라서 영역 DZ는 무리적이며, 그것을 제곱하는 직선 역시 무리적이다.
δύναται δὲ τὸ ΔΖ ἡ ΑΓ·
그런데 AC는 DZ를 제곱한다.
ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων δευτέρα.
따라서 AC는 무리적이며, 그것은 제2 이중미디알선이라 불리도록 하자.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
§10.prop1.39ἐὰν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μείζων.
만일 제곱에서 통약할 수 없는 두 직선이 그것들 위의 정사각형들의 합은 유리적이고, 그것들에 의해 둘러싸인 직사각형은 미디얼이 되도록 더해진다면, 전체 직선은 무리적이며, 그것은 대선이라 불리도록 하자.
Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκείμενα·
실제로 제곱에서 통약할 수 없는 두 직선 AB, BC가 위의 조건들을 만족하도록 더해져 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἄλογός ἐστιν ἡ ΑΓ.
ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν, καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν.
나는 AC가 무리적임을 주장한다. 왜냐하면 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형은 미디얼이므로, 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 미디얼이기 때문이다.
τὸ δὲ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν·
그런데 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 유리적이다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
따라서 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형은 AB, BC 위의 정사각형들의 합과 통약할 수 없다.
ὥστε καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
그러므로 AB, BC 위의 정사각형들의 합에 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형을 더한 것, 즉 AC 위의 정사각형 역시 AB, BC 위의 정사각형들의 합과 통약할 수 없다.
ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ. ὥστε καὶ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μείζων.
따라서 AC 위의 정사각형은 무리적이다. 그러므로 AC 역시 무리직선이며, 그것은 대선이라 불리도록 하자.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.