§10.prop1.3δύο μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
두 개의 통약가능한 크기가 주어졌을 때, 그것들의 최대공도를 구하는 것.
ἔστω τὰ δοθέντα δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ ΑΒ, ΓΔ, ὧν ἔλασσον τὸ ΑΒ·
주어진 두 개의 통약가능한 크기를 ΑΒ, ΓΔ라 하고, 그것들 중 작은 것을 ΑΒ라 하자.
δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
우리는 ΑΒ, ΓΔ의 최대 공도를 구해야 한다.
τὸ ΑΒ γὰρ μέγεθος ἤτοι μετρεῖ τὸ ΓΔ ἢ οὔ.
왜냐하면 크기 ΑΒ는 ΓΔ를 측정하거나 측정하지 못하기 때문이다.
εἰ μὲν οὖν μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτό, τὸ ΑΒ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν·
만약 측정한다면, 그것은 자신도 측정하므로, 따라서 ΑΒ는 ΑΒ, ΓΔ의 공도이다.
καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον.
그리고 그것이 가장 크다는 것도 명백하다.
μεῖζον γὰρ τοῦ ΑΒ μεγέθους τὸ ΑΒ οὐ μετρήσει.
왜냐하면 크기 ΑΒ보다 큰 크기는 ΑΒ를 측정하지 못할 것이기 때문이다.
μὴ μετρείτω δὴ τὸ ΑΒ τὸ ΓΔ. καὶ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος, τὸ περιλειπόμενον μετρήσει ποτὲ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ διὰ τὸ μὴ εἶναι ἀσύμμετρα τὰ ΑΒ, ΓΔ·
그러므로 ΑΒ가 ΓΔ를 측정하지 못한다고 하자. 그리고 작은 것을 큰 것에서 계속해서 차례로 감해갈 때, 남는 것은 ΑΒ, ΓΔ가 통약불가능하지 않기 때문에 언젠가는 그 직전의 것을 측정할 것이다.
καὶ τὸ μὲν ΑΒ τὸ ΕΔ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΕΓ, τὸ δὲ ΕΓ τὸ ΖΒ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΑΖ, τὸ δὲ ΑΖ τὸ ΓΕ μετρείτω.
그리고 ΑΒ는 ΕΔ를 측정하고 자신보다 작은 ΕΓ를 남기며, ΕΓ는 ΖΒ를 측정하고 자신보다 작은 ΑΖ를 남기고, ΑΖ는 ΓΕ를 측정한다고 하자.
ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΖ τὸ ΓΕ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΓΕ τὸ ΖΒ μετρεῖ, καὶ τὸ ΑΖ ἄρα τὸ ΖΒ μετρήσει.
그렇다면 ΑΖ가 ΓΕ를 측정하지만, ΓΕ가 ΖΒ를 측정하므로, 따라서 ΑΖ도 ΖΒ를 측정할 것이다.
μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτό·
그런데 그것은 자신도 측정한다.
καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΒ μετρήσει τὸ ΑΖ. ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΔΕ μετρεῖ·
그러므로 ΑΖ는 전체인 ΑΒ도 측정할 것이다. 그런데 ΑΒ는 ΔΕ를 측정한다.
καὶ τὸ ΑΖ ἄρα τὸ ΕΔ μετρήσει.
그러므로 ΑΖ도 ΕΔ를 측정할 것이다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΓΕ·
그런데 그것은 ΓΕ도 측정한다.
καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΓΔ μετρεῖ·
그러므로 전체인 ΓΔ도 측정한다.
τὸ ΑΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν.
따라서 ΑΖ는 ΑΒ, ΓΔ의 공도이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον.
나는 그것이 가장 크다고도 말한다.
εἰ γὰρ μή, ἔσται τι μέγεθος μεῖζον τοῦ ΑΖ, ὃ μετρήσει τὰ ΑΒ, ΓΔ. ἔστω τὸ Η. ἐπεὶ οὖν τὸ Η τὸ ΑΒ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΕΔ μετρεῖ, καὶ τὸ Η ἄρα τὸ ΕΔ μετρήσει.
왜냐하면 만약 그렇지 않다면, ΑΖ보다 크면서 ΑΒ, ΓΔ를 측정하는 어떤 크기가 존재할 것이기 때문이다. 그것을 Η라 하자. 그렇다면 Η는 ΑΒ를 측정하지만 ΑΒ는 ΕΔ를 측정하므로, 따라서 Η도 ΕΔ를 측정할 것이다.
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΓΔ·
그런데 그것은 전체인 ΓΔ도 측정한다.
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΓΕ μετρήσει τὸ Η. ἀλλὰ τὸ ΓΕ τὸ ΖΒ μετρεῖ·
그러므로 남은 ΓΕ도 Η가 측정할 것이다. 그런데 ΓΕ는 ΖΒ를 측정한다.
καὶ τὸ Η ἄρα τὸ ΖΒ μετρήσει.
그러므로 Η도 ΖΒ를 측정할 것이다.
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒ, καὶ λοιπὸν τὸ ΑΖ μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον·
그런데 그것은 전체인 ΑΒ도 측정하므로 남은 ΑΖ도 측정하게 되어, 큰 것이 작은 것을 측정하게 된다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα μεῖζόν τι μέγεθος τοῦ ΑΖ τὰ ΑΒ, ΓΔ μετρήσει·
그러므로 ΑΖ보다 큰 어떤 크기도 ΑΒ, ΓΔ를 측정하지 못할 것이다.
τὸ ΑΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστίν.
따라서 ΑΖ는 ΑΒ, ΓΔ의 최대공도이다.
δύο ἄρα μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ηὕρηται·
그러므로 주어진 두 개의 통약가능한 크기 ΑΒ, ΓΔ의 최대공도가 구해졌다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν μέγεθος δύο μεγέθη μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει.
따름정리 이로부터, 만약 어떤 크기가 두 개의 크기를 측정한다면, 그것은 그것들의 최대공도도 측정할 것이라는 점이 명백하다.