§10.prop1.1δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἐὰν ἀπὸ τοῦ μείζονος ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μέγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος μεγέθους.
设有两个不相等的量，如果从较大者中减去大于其一半的部分，再从余下者中减去大于其一半的部分，并且不断这样做，将会剩下一个量，它小于给定的较小的那个量。
ἔστω δύο μεγέθη ἄνισα τὰ ΑΒ, Γ, ὧν μεῖζον τὸ ΑΒ·
设两个不相等的量为 ΑΒ 和 Γ，其中较大者为 ΑΒ。
λέγω, ὅτι, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μέγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ Γ μεγέθους.
我说，如果从 ΑΒ 中减去大于其一半的部分，再从余下者中减去大于其一半的部分，并且不断这样做，将会剩下一个量，它小于 Γ 这个量。
τὸ Γ γὰρ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ ΑΒ μεῖζον.
因为 Γ 经倍加后，终将有一次大于 ΑΒ。
πεπολλαπλασιάσθω, καὶ ἔστω τὸ ΔΕ τοῦ μὲν Γ πολλαπλάσιον, τοῦ δὲ ΑΒ μεῖζον, καὶ διῃρήσθω τὸ ΔΕ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΔΖ, ΖΗ, ΗΕ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ μὲν τοῦ ΑΒ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΒΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ ΑΘ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΘΚ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γιγνέσθω, ἕως ἂν αἱ ἐν τῷ ΑΒ διαιρέσεις ἰσοπληθεῖς γένωνται ταῖς ἐν τῷ ΔΕ διαιρέσεσιν.
设它已被倍加，且设 ΔΕ 为 Γ 的倍量，但大于 ΑΒ，并设 ΔΕ 被分割为与 Γ 相等的部分 ΔΖ、 ΖΗ、ΗΕ。 且设从 ΑΒ 中减去大于其一半的部分 ΒΘ，从 ΑΘ 中减去大于其一半的部分 ΘΚ，并让这件事不断发生，直到 ΑΒ 中的分割在数量上等于 ΔΕ 中的分割。
ἔστωσαν οὖν αἱ ΑΚ, ΚΘ, ΘΒ διαιρέσεις ἰσοπληθεῖς οὖσαι ταῖς ΔΖ, ΖΗ, ΗΕ·
因此，设分割 ΑΚ、ΚΘ、ΘΒ 在数量上等于 ΔΖ、ZH、HE。
καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΔΕ τοῦ ΑΒ, καὶ ἀφῄρηται ἀπὸ μὲν τοῦ ΔΕ ἔλασσον τοῦ ἡμίσεος τὸ ΕΗ, ἀπὸ δὲ τοῦ ΑΒ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΒΘ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΔ λοιποῦ τοῦ ΘΑ μεῖζόν ἐστιν.
因为 ΔΕ 大于 ΑΒ，且从 ΔΕ 中减去了小于其一半的部分 ΕΗ，而从 ΑΒ 中减去了大于其一半的部分 ΒΘ，从而余下的 ΗΔ 大于余下的 ΘΑ。
καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΔ τοῦ ΘΑ, καὶ ἀφῄρηται τοῦ μὲν ΗΔ ἥμισυ τὸ ΗΖ, τοῦ δὲ ΘΑ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΘΚ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΔΖ λοιποῦ τοῦ ΑΚ μεῖζόν ἐστιν.
又因为 ΗΔ 大于 ΘΑ，且从 ΗΔ 中减去了其一半 ΗΖ，从 ΘΑ 中减去大于其一半的部分 ΘΚ，从而余下的 ΔΖ 大于余下的 ΑΚ。
ἴσον δὲ τὸ ΔΖ τῷ Γ· καὶ τὸ Γ ἄρα τοῦ ΑΚ μεῖζόν ἐστιν.
但 ΔΖ 等于 Γ，因此 Γ 也大于 ΑΚ。
ἔλασσον ἄρα τὸ ΑΚ τοῦ Γ.
καταλείπεται ἄρα ἀπὸ τοῦ ΑΒ μεγέθους τὸ ΑΚ μέγεθος ἔλασσον ὂν τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος μεγέθους τοῦ Γ·
所以 ΑΚ 小于 Γ。 因此，从量 ΑΒ 中剩下了量 ΑΚ，它小于给定的较小的量 Γ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。
¯ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, κἂν ἡμίση ᾖ τὰ ἀφαιρούμενα.
同样地，即使减去的部分是二分之一，也可以得到证明。
§10.prop1.2ἐὰν δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ καταλειπόμενον μηδέποτε καταμετρῇ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ, ἀσύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη.
如果有两个不相等的量，不断从较大者中减去较小者，如果余下的量永远不能整除其前一个量，那么这两个量将是不可通约的。
δύο γὰρ μεγεθῶν ὄντων ἀνίσων τῶν ΑΒ, ΓΔ καὶ ἐλάσσονος τοῦ ΑΒ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ περιλειπόμενον μηδέποτε καταμετρείτω τὸ πρὸ ἑαυτοῦ·
因为有两个不相等的量 ΑΒ 和 ΓΔ，其中 ΑΒ 较小，并且不断从较大者中减去较小者，设余下的量永远不能整除其前一个量。
λέγω, ὅτι ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ΑΒ, ΓΔ μεγέθη.
我说，量 ΑΒ 和 ΓΔ 是不可通约的。
εἰ γάρ ἐστι σύμμετρα, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος.
因为，如果它们是可通约的，就会有某个量能整除它们。
μετρείτω, εἰ δυνατόν, καὶ ἔστω τὸ Ε·
如果可能的话，设它为 Ε。
καὶ τὸ μὲν ΑΒ τὸ ΖΔ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΓΖ, τὸ δὲ ΓΖ τὸ ΒΗ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΑΗ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γινέσθω, ἕως οὗ λειφθῇ τι μέγεθος, ὅ ἐστιν ἔλασσον τοῦ Ε. γεγονέτω, καὶ λελείφθω τὸ ΑΗ ἔλασσον τοῦ Ε. ἐπεὶ οὖν τὸ Ε τὸ ΑΒ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΔΖ μετρεῖ, καὶ τὸ Ε ἄρα τὸ ΖΔ μετρήσει.
并设 ΑΒ 整除 ΖΔ，留下小于其自身的 ΓΖ，而 ΓΖ 整除 ΒΗ，留下小于其自身的 ΑΗ，并且不断这样做，直到剩下一个小于 Ε 的量。 设已经发生，且剩下 ΑΗ 小于 Ε。 因为 Ε 整除 ΑΒ，而 ΑΒ 整除 ΔΖ，所以 Ε 也整除 ΖΔ。
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΓΔ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΓΖ μετρήσει.
但它也整除整个 ΓΔ，所以它也整除余下的 ΓΖ。
ἀλλὰ τὸ ΓΖ τὸ ΒΗ μετρεῖ· καὶ τὸ Ε ἄρα τὸ ΒΗ μετρεῖ.
但 ΓΖ 整除 ΒΗ，所以 Ε 也整除 ΒΗ。
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΗ μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον.
但它也整除整个 ΑΒ，所以它也将整除余下的 ΑΗ，即较大者整除较小者。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
这是不可能的。
οὐκ ἄρα τὰ ΑΒ, ΓΔ μεγέθη μετρήσει τι μέγεθος·
因此，没有任何量能整除量 ΑΒ 和 ΓΔ。
ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ μεγέθη.
所以，量 ΑΒ 和 ΓΔ 是不可通约的。
ἐὰν ἄρα δύο μεγεθῶν ἀνίσων, καὶ τὰ ἑξῆς.
因此，如果有两个不相等的量，以及接下来的部分。