§10.prop1.3δύο μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
二つの通約可能な大きさが与えられたとき、それらの最大公度を見出すこと。
ἔστω τὰ δοθέντα δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ ΑΒ, ΓΔ, ὧν ἔλασσον τὸ ΑΒ·
与えられた二つの通約可能な大きさを ΑΒ, ΓΔ とし、それらのうち小さい方を ΑΒ とする。
δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
そこで、ΑΒ, ΓΔ の最大公度を見出さねばならない。
τὸ ΑΒ γὰρ μέγεθος ἤτοι μετρεῖ τὸ ΓΔ ἢ οὔ.
なぜなら、大きさ ΑΒ は、ΓΔ を測定するか、あるいは測定しない。
εἰ μὲν οὖν μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτό, τὸ ΑΒ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν·
そこで、もし測定するならば、それは自分自身をも測定するので、したがって ΑΒ は ΑΒ, ΓΔ の公度である。
καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον.
そして、それが最大であることも明らかである。
μεῖζον γὰρ τοῦ ΑΒ μεγέθους τὸ ΑΒ οὐ μετρήσει.
なぜなら、ΑΒ より大きい大きさは ΑΒ を測定しないからである。
μὴ μετρείτω δὴ τὸ ΑΒ τὸ ΓΔ. καὶ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος, τὸ περιλειπόμενον μετρήσει ποτὲ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ διὰ τὸ μὴ εἶναι ἀσύμμετρα τὰ ΑΒ, ΓΔ·
そこで、ΑΒ は ΓΔ を測定しないとせよ。 そして、小さい方を大きい方から絶えず引き算していくとき、残されるものは、ΑΒ, ΓΔ が通約不可能ではないために、いつかはその直前のものを測定するであろう。
καὶ τὸ μὲν ΑΒ τὸ ΕΔ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΕΓ, τὸ δὲ ΕΓ τὸ ΖΒ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΑΖ, τὸ δὲ ΑΖ τὸ ΓΕ μετρείτω.
そして、ΑΒ は ΕΔ を測定して、自身より小さい ΕΓ を残すとし、ΕΓ は ΖΒ を測定して自身より小さい ΑΖ を残すとし、ΑΖ は ΓΕ を測定するとせよ。
ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΖ τὸ ΓΕ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΓΕ τὸ ΖΒ μετρεῖ, καὶ τὸ ΑΖ ἄρα τὸ ΖΒ μετρήσει.
そこで、ΑΖ は ΓΕ を測定するが、ΓΕ は ΖΒ を測定するので、したがって ΑΖ も ΖΒ を測定するであろう。
μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτό·
しかしそれは自分自身をも測定する。
καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΒ μετρήσει τὸ ΑΖ. ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΔΕ μετρεῖ·
したがって ΑΖ は全体である ΑΒ も測定するであろう。 しかし ΑΒ は ΔΕ を測定する。
καὶ τὸ ΑΖ ἄρα τὸ ΕΔ μετρήσει.
したがって ΑΖ も ΕΔ を測定するであろう。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΓΕ·
しかしそれは ΓΕ も測定する。
καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΓΔ μετρεῖ·
したがって全体である ΓΔ も測定する。
τὸ ΑΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν.
したがって ΑΖ は ΑΒ, ΓΔ の公度である。
λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον.
そこで、私はそれが最大でもあると言う。
εἰ γὰρ μή, ἔσται τι μέγεθος μεῖζον τοῦ ΑΖ, ὃ μετρήσει τὰ ΑΒ, ΓΔ. ἔστω τὸ Η. ἐπεὶ οὖν τὸ Η τὸ ΑΒ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΕΔ μετρεῖ, καὶ τὸ Η ἄρα τὸ ΕΔ μετρήσει.
なぜなら、もしそうでないならば、ΑΖ より大きい、ある大きさが存在して、ΑΒ, ΓΔ を測定するであろうから。 それを Η とせよ。 そこで、Η は ΑΒ を測定するが、ΑΒ は ΕΔ を測定するので、したがって Η も ΕΔ を測定するであろう。
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΓΔ·
しかしそれは全体である ΓΔ も測定する。
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΓΕ μετρήσει τὸ Η. ἀλλὰ τὸ ΓΕ τὸ ΖΒ μετρεῖ·
したがって残りの ΓΕ も Η は測定するであろう。 しかし ΓΕ は ΖΒ を測定する。
καὶ τὸ Η ἄρα τὸ ΖΒ μετρήσει.
したがって Η も ΖΒ を測定するであろう。
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒ, καὶ λοιπὸν τὸ ΑΖ μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον·
しかしそれは全体である ΑΒ も測定するので、残りの ΑΖ も測定することになり、大きいものが小さいものを測定することになる。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα μεῖζόν τι μέγεθος τοῦ ΑΖ τὰ ΑΒ, ΓΔ μετρήσει·
したがって、ΑΖ より大きい大きさは何も ΑΒ, ΓΔ を測定しないであろう。
τὸ ΑΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστίν.
したがって、ΑΖ は ΑΒ, ΓΔ の最大公度である。
δύο ἄρα μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ηὕρηται·
したがって、与えられた二つの通約可能な大きさ ΑΒ, ΓΔ の最大公度が求められた。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明すべきことであった。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν μέγεθος δύο μεγέθη μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει.
系このことから、もしある大きさが二つの大きさを測定するならば、それはそれらの最大公度をも測定することが明らかである。